Pirámide triangular alargada

En geometría , la pirámide triangular alargada es uno de los sólidos de Johnson ( J7 ). Como su nombre indica, se puede construir alargando un tetraedro mediante la adición _de un prisma triangular a su base. Al igual que cualquier pirámide alargada , el sólido resultante es topológicamente (pero no geométricamente) autodual .

La pirámide triangular alargada se construye a partir de un prisma triangular mediante la adición de un tetraedro regular a una de sus bases, un proceso conocido como elongación . ^{[ 1 ]} El tetraedro cubre un triángulo equilátero , reemplazándolo con otros tres triángulos equiláteros, de modo que el poliedro resultante tiene cuatro triángulos equiláteros y tres cuadrados como caras. ^{[ 2 ]} Un poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares se denomina sólido de Johnson , y la pirámide triangular alargada se encuentra entre ellos, catalogada como el séptimo sólido de Johnson.${\displaystyle J_{7}}$. ^{[ 3 ]}

La pirámide triangular alargada es un poliedro compuesto . Es decir, se puede cortar con un plano, obteniendo un prisma triangular y un tetraedro regular. Al cortar estos poliedros no se pueden obtener poliedros convexos de caras regulares, por lo que son poliedros elementales. ^{[ 4 ]}

La altura de una pirámide triangular alargada${\displaystyle h}$(es decir, la distancia entre el vértice de un tetraedro regular y el centro de una base triangular) es la altura de un tetraedro regular y un prisma triangular. Su área superficial${\displaystyle A}$se puede calcular sumando el área de los ocho triángulos equiláteros y los tres cuadrados. Su volumen${\displaystyle V}$se puede calcular dividiendo el objeto en un tetraedro regular y un prisma, y ​​luego sumando sus volúmenes. Con longitud de arista${\displaystyle a}$, la formulación para cada uno es: ^{[ 5 ] [ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}h&=\left(1+{\frac {\sqrt {6}}{3}}\right)a\approx 1.816a,\\A&=\left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 4.732a^{2},\\V&=\left({\frac {1}{12}}\left({\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)\right)a^{3}\approx 0.551a^{3}.\end{aligned}}}$$

El grupo de simetría tridimensional de una pirámide triangular alargada es el grupo cíclico.${\displaystyle C_{3\mathrm {v} }}$de orden 6. Tiene cuatro ángulos diedros diferentes (ángulos que se forman entre dos caras poligonales), cuyas medidas se pueden calcular sumando los ángulos del tetraedro y del prisma triangular: ^{[ 6 ]}

• El ángulo entre dos triángulos adyacentes es el mismo que el de un tetraedro regular:${\textstyle \arccos({\frac {1}{3}})\approx 70.5^{\circ }}$;
• El ángulo entre dos cuadrados adyacentes es el mismo que el de un prisma triangular entre dos caras cuadradas adyacentes:${\textstyle {\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }}$;
• El ángulo entre un triángulo y un cuadrado es el mismo que el que existe entre la cara cuadrada lateral de un prisma triangular y su base triangular:${\textstyle {\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }}$; y
• El ángulo entre un triángulo y un cuadrado, en el borde donde se unen un tetraedro y un prisma triangular, es la suma del ángulo triángulo-triángulo en un tetraedro y el ángulo cuadrado-triángulo en un prisma:${\textstyle \arccos({\frac {1}{3}})+{\frac {\pi }{2}}\approx 160.5^{\circ }}$.

La pirámide triangular alargada es topológicamente autodual : si sus caras se reemplazan por los puntos medios de esas caras, y esos puntos se unen mediante aristas siempre que las caras correspondientes se unieran mediante aristas, entonces el resultado tiene la misma conectividad que el sólido original. ^{[ 7 ]}

• Bipirámide triangular alargada – Prisma triangular rematado con tetraedros 

• Weisstein, Eric W. , " Johnson solid " (" Pirámide triangular alargada ") en MathWorld .