Momento angular orbital de los electrones libres

Los electrones en el espacio libre pueden transportar momento angular orbital (OAM) cuantizado proyectado a lo largo de la dirección de propagación. ^{[ 1 ]} Este momento angular orbital corresponde a frentes de onda helicoidales o, equivalentemente, a una fase proporcional al ángulo azimutal . ^{[ 2 ]} Los haces de electrones con momento angular orbital cuantizado también se denominan haces de vórtice de electrones .

Un electrón en el espacio libre que viaja a velocidades no relativistas sigue la ecuación de Schrödinger para una partícula libre , es decir$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t),}$$dónde${\textstyle \hbar }$es la constante de Planck reducida ,${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$es la función de onda de un solo electrón ,${\textstyle m}$su masa,${\textstyle \mathbf {r} }$el vector de posición y${\textstyle t}$es el tiempo. Esta ecuación es un tipo de ecuación de onda y cuando se escribe en el sistema de coordenadas cartesianas (${\textstyle x}$,${\textstyle y}$,${\textstyle z}$), las soluciones vienen dadas por una combinación lineal de ondas planas , en la forma de$${\displaystyle \Psi _{\mathbf {p} }(\mathbf {r} ,t)\propto e^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -E(\mathbf {p} )t)/\hbar }}$$dónde${\textstyle \mathbf {p} }$es el momento lineal y${\textstyle E(\mathbf {p} )}$es la energía del electrón, dada por la relación de dispersión habitual${\textstyle E(\mathbf {p} )={\frac {p^{2}}{2m}}}$. Al medir el momento del electrón, su función de onda debe colapsar y dar un valor particular. Si la energía del haz de electrones se selecciona de antemano, el momento total (no sus componentes direccionales) de los electrones se fija con cierto grado de precisión. Cuando la ecuación de Schrödinger se escribe en el sistema de coordenadas cilíndricas (${\textstyle \rho }$,${\textstyle \theta }$,${\textstyle z}$), las soluciones ya no son ondas planas, sino que vienen dadas por haces de Bessel , ^{[ 2 ]} soluciones que son una combinación lineal de$${\displaystyle \Psi _{p_{\rho },\,p_{z},\,\ell }(\rho ,\theta ,z)\propto J_{|\ell |}\left({\frac {p_{\rho }\rho }{\hbar }}\right)e^{i(p_{z}z-Et)/\hbar }e^{i\ell \theta },}$$es decir, el producto de tres tipos de funciones: una onda plana con momento${\textstyle p_{z}}$ en el${\textstyle z}$-dirección, un componente radial escrito como una función de Bessel de primera especie.${\textstyle J_{|\ell |}}$, dónde${\textstyle p_{\rho }}$es el momento lineal en la dirección radial, y finalmente un componente azimutal escrito como${\textstyle e^{i\ell \theta }}$dónde${\textstyle \ell }$(a veces escrito)${\textstyle m_{z}}$) es el número cuántico magnético relacionado con el momento angular${\textstyle L_{z}}$en el${\textstyle z}$-dirección. Por lo tanto, la relación de dispersión se lee ${\textstyle E=(p_{z}^{2}+p_{\rho }^{2})/2m}$. Por simetría azimutal, la función de onda tiene la propiedad de que ${\textstyle \ell =0,\pm 1,\pm 2,\cdots }$es necesariamente un número entero , por lo tanto${\textstyle L_{z}=\hbar \ell }$está cuantificado. Si una medición de${\textstyle L_{z}}$se realiza sobre un electrón con energía seleccionada, como${\textstyle E}$no depende de${\textstyle \ell }$, puede dar cualquier valor entero. Es posible preparar experimentalmente estados con valores distintos de cero.${\textstyle \ell }$agregando una fase azimutal a un estado inicial con${\textstyle \ell =0}$Se están desarrollando técnicas experimentales diseñadas para medir el momento angular orbital de un solo electrón. La medición simultánea de la energía del electrón y el momento angular orbital es posible porque el hamiltoniano conmuta con el operador de momento angular relacionado con${\textstyle L_{z}}$.

Nótese que las ecuaciones anteriores son válidas para cualquier partícula cuántica libre con masa, no necesariamente electrones. La cuantización de${\displaystyle L_{z}}$También se puede mostrar en el sistema de coordenadas esféricas , donde la función de onda se reduce a un producto de funciones de Bessel esféricas y armónicos esféricos .

Existen diversos métodos para preparar un electrón en un estado de momento angular orbital. Todos los métodos implican una interacción con un elemento óptico de tal manera que el electrón adquiere una fase azimutal. El elemento óptico puede ser material, ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} magnetostático, ^{[ 6 ]} o electrostático. ^{[ 7 ]} Es posible imprimir directamente una fase azimutal, o imprimirla con una red de difracción holográfica, donde el patrón de la red se define por la interferencia de la fase azimutal y una onda portadora planar ^{[ 8 ]} o esférica ^{[ 9 ] .}

Los haces de vórtice de electrones tienen una variedad de aplicaciones propuestas y demostradas, incluyendo el mapeo de magnetización , ^{[ 4 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} el estudio de moléculas quirales y resonancias de plasmones quirales, ^{[ 13 ]} y la identificación de quiralidad cristalina. ^{[ 14 ]}

Los métodos interferométricos tomados de la óptica de la luz también funcionan para determinar el momento angular orbital de electrones libres en estados puros. La interferencia con una onda de referencia plana, ^{[ 5 ]} el filtrado difractivo y la autointerferencia ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} pueden servir para caracterizar un estado de momento angular orbital electrónico preparado. Para medir el momento angular orbital de una superposición o del estado mixto que resulta de la interacción con un átomo o material, es necesario un método no interferométrico. El aplanamiento del frente de onda, ^{[ 17 ] [ 18 ]} la transformación de un estado de momento angular orbital en una onda plana, ^{[ 19 ]} o la medición tipo Stern-Gerlach con simetría cilíndrica ^{[ 20 ]} es necesaria para medir el estado mixto o de superposición del momento angular orbital.

• onda de materia