Mapa elástico

Los mapas elásticos proporcionan una herramienta para la reducción de dimensionalidad no lineal . Por su construcción, son un sistema de resortes elásticos incrustados en el espacio de datos. ^{[ 1 ]} Este sistema aproxima una variedad de baja dimensión. Los coeficientes elásticos de este sistema permiten el cambio de la agrupación k-means completamente no estructurada (elasticidad cero) a los estimadores ubicados cerca de las variedades PCA lineales (para módulos de alta flexión y baja extensión). Con algunos valores intermedios de los coeficientes de elasticidad , este sistema aproxima eficazmente las variedades principales no lineales. Este enfoque se basa en una analogía mecánica entre las variedades principales, que pasan por "el centro" de la distribución de datos, y las membranas y placas elásticas. El método fue desarrollado por AN Gorban , AY Zinovyev y AA Pitenko entre 1996 y 1998.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ser un conjunto de datos en un espacio euclidiano de dimensión finita . El mapa elástico está representado por un conjunto de nodos${\displaystyle {\bf {w}}_{j}}$en el mismo espacio. Cada punto de datos${\displaystyle s\in {\mathcal {S}}}$tiene un nodo anfitrión , es decir, el nodo más cercano${\displaystyle {\bf {w}}_{j}}$(Si hay varios nodos más cercanos, se toma el nodo con el número más pequeño). El conjunto de datos${\displaystyle {\mathcal {S}}}$está dividido en clases${\displaystyle K_{j}=\{s\ |\ {\bf {w}}_{j}{\mbox{ es un anfitrión de }}s\}}$.

La energía de aproximación D es la distorsión

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{k}\sum _{s\in K_{j}}\|s-{\bf {w}}_{j}\|^{2}}$,

que es la energía de los resortes con elasticidad unitaria que conectan cada punto de datos con su nodo anfitrión. Es posible aplicar factores de ponderación a los términos de esta suma, por ejemplo, para reflejar la desviación estándar de la función de densidad de probabilidad de cualquier subconjunto de puntos de datos.${\displaystyle \{s_{i}\}}$.

En el conjunto de nodos se define una estructura adicional. Algunos pares de nodos,${\displaystyle ({\bf {w}}_{i},{\bf {w}}_{j})}$, están conectados por bordes elásticos . Llamemos a este conjunto de pares${\displaystyle E}$. Algunos tríos de nodos,${\displaystyle ({\bf {w}}_{i},{\bf {w}}_{j},{\bf {w}}_{k})}$, forman costillas curvas . Llama a este conjunto de trillizos${\displaystyle G}$.

La energía de estiramiento es${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\lambda \sum _{({\bf {w}}_{i},{\bf {w}}_{j})\in E}\|{\bf {w}}_{i}-{\bf {w}}_{j}\|^{2}}$,

La energía de flexión es${\displaystyle U_{G}={\frac {1}{2}}\mu \sum _{({\bf {w}}_{i},{\bf {w}}_{j},{\bf {w}}_{k})\in G}\|{\bf {w}}_{i}-2{\bf {w}}_{j}+{\bf {w}}_{k}\|^{2}}$,

dónde${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \mu }$son los módulos de estiramiento y flexión, respectivamente. La energía de estiramiento a veces se denomina energía de membrana , mientras que la energía de flexión se denomina energía de placa delgada . ^{[ 5 ]}

Por ejemplo, en la cuadrícula rectangular 2D, los bordes elásticos son simplemente bordes verticales y horizontales (pares de vértices más cercanos) y las nervaduras flexibles son las ternas verticales u horizontales de vértices consecutivos (más cercanos).

La energía total del mapa elástico es, por lo tanto,${\displaystyle U=D+U_{E}+U_{G}.}$

La posición de los nodos${\displaystyle \{{\bf {w}}_{j}\}}$está determinado por el equilibrio mecánico del mapa elástico, es decir, su ubicación es tal que minimiza la energía total.${\displaystyle U}$.

Para una división dada del conjunto de datos ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$en clases${\displaystyle K_{j}}$, minimización del funcional cuadrático${\displaystyle U}$es un problema lineal con una matriz dispersa de coeficientes. Por lo tanto, de forma similar al análisis de componentes principales o k-medias , se utiliza un método de división:

• Por lo dado${\displaystyle \{{\bf {w}}_{j}\}}$encontrar${\displaystyle \{K_{j}\}}$;
• Por lo dado${\displaystyle \{K_{j}\}}$minimizar${\displaystyle U}$y encontrar${\displaystyle \{{\bf {w}}_{j}\}}$;
• Si no hay cambios, finalizar.

Este algoritmo de maximización de expectativas garantiza un mínimo local de${\displaystyle U}$Para mejorar la aproximación, se proponen varios métodos adicionales. Por ejemplo, se utiliza la estrategia de suavizado . Esta estrategia comienza con una malla rígida (longitud pequeña, flexión pequeña y módulos de elasticidad grandes). ${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \mu }$coeficientes) y termina con cuadrículas suaves (pequeñas${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \mu }$El entrenamiento se desarrolla en varias épocas, cada una con su propia rigidez de cuadrícula. Otra estrategia adaptativa es el crecimiento de la red : se comienza con un número reducido de nodos y se añaden gradualmente nuevos nodos. Cada época se desarrolla con su propio número de nodos.

Las aplicaciones más importantes del método y del software libre ^{[ 3 ]} se encuentran en la bioinformática ^{[ 7 ] [ 8 ]} para el análisis exploratorio de datos y la visualización de datos multidimensionales, para la visualización de datos en economía, ciencias sociales y políticas, ^{[ 9 ]} como herramienta auxiliar para el mapeo de datos en sistemas de información geográfica y para la visualización de datos de diversa naturaleza.

El método se aplica en biología cuantitativa para reconstruir la superficie curva de una hoja de árbol a partir de una serie de imágenes de microscopía óptica. ^{[ 10 ]} Esta reconstrucción se utiliza para cuantificar las distancias geodésicas entre los tricomas y su patrón, que es un marcador de la capacidad de una planta para resistir patógenos.

Recientemente, el método se ha adaptado como herramienta de apoyo en el proceso de toma de decisiones subyacente a la selección, optimización y gestión de carteras financieras . ^{[ 11 ]}

El método de mapas elásticos se ha probado sistemáticamente y comparado con varios métodos de aprendizaje automático en el problema aplicado de identificación del régimen de flujo de un flujo gas-líquido en una tubería. ^{[ 12 ]} Hay varios regímenes: flujo monofásico de agua o aire, flujo burbujeante, flujo burbujeante-tapón, flujo tapón, flujo tapón-turbulento, flujo turbulento, flujo turbulento-anular y flujo anular. El método más simple y común utilizado para identificar el régimen de flujo es la observación visual. Sin embargo, este enfoque es subjetivo e inadecuado para caudales de gas y líquido relativamente altos. Por lo tanto, muchos autores proponen métodos de aprendizaje automático. Los métodos se aplican a datos de presión diferencial recopilados durante un proceso de calibración. El método de mapas elásticos proporcionó un mapa 2D, donde se representa el área de cada régimen. La comparación con algunos otros métodos de aprendizaje automático se presenta en la Tabla 1 para varios diámetros de tubería y presión.

Aquí, ANN significa redes neuronales artificiales de retropropagación , SVM significa máquina de vectores de soporte , SOM significa mapas autoorganizados . La tecnología híbrida se desarrolló para aplicaciones de ingeniería. ^{[ 13 ]} En esta tecnología, los mapas elásticos se utilizan en combinación con el análisis de componentes principales (PCA), el análisis de componentes independientes (ICA) y ANN de retropropagación.

El libro de texto ^{[ 14 ]} proporciona una comparación sistemática de mapas elásticos y mapas autoorganizados (SOM) en aplicaciones a la toma de decisiones económicas y financieras.