Radio de Einstein

El radio de Einstein es el radio de un anillo de Einstein y es un ángulo característico para las lentes gravitacionales en general, ya que las distancias típicas entre imágenes en las lentes gravitacionales son del orden del radio de Einstein. ^{[ 1 ]}

En la siguiente derivación del radio de Einstein, asumiremos que toda la masa M de la galaxia lente L está concentrada en el centro de la galaxia.

Para una masa puntual, la deflexión se puede calcular y es una de las pruebas clásicas de la relatividad general . Para ángulos pequeños α ₁ , la deflexión total de una masa puntual M viene dada (véase la métrica de Schwarzschild ) por

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b_{1}}}}$

dónde

b ₁ es el parámetro de impacto (la distancia de aproximación más cercana del haz de luz al centro de masa).

G es la constante gravitacional ,

c es la velocidad de la luz .

Al observar que, para ángulos pequeños y con el ángulo expresado en radianes , el punto de aproximación más cercano b ₁ en un ángulo θ ₁ para la lente L a una distancia D _L viene dado por b ₁ = θ ₁ D _L , podemos reescribir el ángulo de flexión α ₁ como

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{D_{\rm {L}}}}}$..... (Ecuación 1)

Si definimos θ _S como el ángulo en el que se vería la fuente sin la lente (lo cual generalmente no es observable), y θ ₁ como el ángulo observado de la imagen de la fuente con respecto a la lente, entonces se puede ver, a partir de la geometría de la lente (contando distancias en el plano de la fuente), que la distancia vertical abarcada por el ángulo θ ₁ a una distancia D _S es igual a la suma de las dos distancias verticales θ _S D _S y α ₁ D _LS . Esto da como resultado la ecuación de la lente.

${\displaystyle \theta _{1}\;D_{\rm {S}}=\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{1}\;D_{\rm {LS}}}$

que se puede reorganizar para dar

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {D_{\rm {S}}}{D_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})}$..... (Ecuación 2)

Igualando (ecuación 1) a (ecuación 2) y reordenando, obtenemos

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

Para una fuente justo detrás de la lente, θ _S = 0 , la ecuación de la lente para una masa puntual da un valor característico para θ ₁ que se llama ángulo de Einstein , denotado θ _E . Cuando θ _E se expresa en radianes, y la fuente de la lente está suficientemente lejos, el radio de Einstein , denotado R _E , viene dado por

${\ Displaystyle R_ {E} = \ theta _ {E} D _ {\ rm {L}}}$. ^{[ 2 ]}

Si hacemos θ _S = 0 y resolvemos para θ _1, obtenemos:

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}}}\right)^{1/2}}$

El ángulo de Einstein para una masa puntual proporciona una escala lineal conveniente para hacer variables de lente adimensionales. En términos del ángulo de Einstein, la ecuación de lente para una masa puntual se convierte en:

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{1}}}}$

Sustituyendo las constantes se obtiene

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {M}{10^{11.09}M_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}/D_{\rm {LS}}}{\rm {Gpc}}}\right)^{-1/2}{\rm {arcsec}}}$

En esta última forma, la masa se expresa en masas solares ( M☉ ₎ y las distancias en gigapársecs ( Gpc). El radio de Einstein es más prominente para una lente que se encuentra típicamente a medio camino entre la fuente y el observador.

Para un cúmulo denso con masa M _c ≈10 × 10 ¹⁵ M _☉  a una distancia de 1 Gigaparsec (1 Gpc), este radio podría ser tan grande como 100 arcsec (llamado macrolente ). Para unevento de microlente gravitacional (con masas del orden1 M _☉  ) buscar a distancias galácticas (digamos D ~3  kpc ), el radio típico de Einstein sería del orden de miliarcosegundos. En consecuencia, es imposible observar imágenes separadas en eventos de microlente con las técnicas actuales.

Asimismo, para el rayo de luz inferior que llega al observador desde debajo de la lente, tenemos

${\displaystyle \theta _{2}\;D_{\rm {S}}=-\;\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha _{2}\;D_{\rm {LS}}}$

y

${\displaystyle \theta _{2}+\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}}$

y por lo tanto

${\displaystyle \theta _{2}=-\;\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{2}}}}$

El argumento anterior puede extenderse a lentes con masa distribuida, en lugar de una masa puntual, utilizando una expresión diferente para el ángulo de curvatura α; las posiciones θ _I ( θ _S ) de las imágenes pueden calcularse entonces. Para pequeñas deflexiones, esta correspondencia es biyectiva y consiste en distorsiones de las posiciones observadas que son invertibles. Esto se denomina lente débil . Para grandes deflexiones, pueden existir múltiples imágenes y una correspondencia no invertible: esto se denomina lente fuerte . Cabe señalar que para que una masa distribuida dé lugar a un anillo de Einstein, debe ser axialmente simétrica.

• Lente gravitacional
• Anillo de Einstein

• Chwolson, O (1924). "Über eine mögliche Form fiktiver Doppelsterne". Astronomische Nachrichten . 221 (20): 329– 330. Bibcode : 1924AN....221..329C . doi : 10.1002/asna.19242212003 .(El primer artículo que propuso anillos)
• Einstein, Albert (1936). "Acción de lente de una estrella por la desviación de la luz en el campo gravitatorio" (PDF) . Science . 84 (2188): 506– 507. Bibcode : 1936Sci....84..506E . doi : 10.1126/science.84.2188.506 . JSTOR 1663250. PMID 17769014. S2CID 38450435. Archivado del original (PDF) el 29 de abril de 2018.   (El famoso artículo sobre el anillo de Einstein)
• Renn, Jürgen ; Tilman Sauer y John Stachel (1997). "El origen de las lentes gravitacionales: una posdata al artículo de Einstein de 1936 en Science". Science . 275 ( 5297): 184– 186. Bibcode : 1997Sci...275..184R . doi : 10.1126/science.275.5297.184 . PMID 8985006. S2CID 43449111 .