Valores E

Una prueba para una hipótesis nula${\displaystyle H_{0}}$Tradicionalmente se modela como una función${\displaystyle \phi }$desde los datos hasta${\displaystyle \{{\text{not reject }}H_{0},{\text{ reject }}H_{0}\}}$Una prueba${\displaystyle \phi _{\alpha }}$Se dice que es válido para el nivel${\displaystyle \alpha }$si

${\displaystyle P(\phi _{\alpha }={\text{reject }}H_{0})\leq \alpha ,{\text{ for every }}P\in H_{0}.}$

Esto se resume de forma clásica y conveniente como una función.${\displaystyle \phi _{\alpha }}$desde los datos hasta${\displaystyle \{0,1\}}$que satisface

${\displaystyle \mathbb {E} ^{P}[\phi _{\alpha }]\leq \alpha ,{\text{ for every }}P\in H_{0}}$.

Además, esto a veces se generaliza para permitir la aleatorización externa al dejar que la prueba${\displaystyle \phi _{\alpha }}$tomar valor en${\displaystyle [0,1]}$Aquí, su valor se interpreta como una probabilidad con la que posteriormente se debería rechazar la hipótesis.

Un problema al modelar una prueba de esta manera es que el espacio de decisión tradicional${\displaystyle \{{\text{not reject }}H_{0},{\text{ reject }}H_{0}\}}$o ${\displaystyle \{0,1\}}$no codifica el nivel${\displaystyle \alpha }$en el que se realiza la prueba${\displaystyle \phi _{\alpha }}$rechazos. Esto es, en el mejor de los casos, extraño, porque un rechazo al nivel del 1% es una afirmación mucho más sólida que un rechazo al nivel del 10%. Un espacio de decisión más adecuado parece ser${\displaystyle \{{\text{not reject }}H_{0},{\text{ reject }}H_{0}{\text{ at level }}\alpha \}}$.

El valor e puede interpretarse como la solución a este problema. De hecho, podemos reescalar desde${\displaystyle \{0,1\}}$a${\displaystyle \{0,1/\alpha \}}$y${\displaystyle [0,1]}$a${\displaystyle [0,1/\alpha ]}$al reescalar la prueba según su nivel:

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\phi _{\alpha }/\alpha }$,

donde denotamos una prueba en esta escala de evidencia por${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }}$para evitar confusiones. Dicha prueba es entonces válida si

${\displaystyle \mathbb {E} ^{P}[\varepsilon _{\alpha }]\leq 1,{\text{ for every }}P\in H_{0}}$.

Es decir: es válido si es un valor e.

De hecho, esto revela que los valores e están limitados a${\displaystyle [0,1/\alpha ]}$son pruebas aleatorias reescaladas, que se interpretan continuamente como evidencia en contra de la hipótesis. El valor e estándar que toma valor en${\displaystyle [0,\infty ]}$aparece como una generalización de una prueba de nivel 0. ^{[ 2 ]}

Esta interpretación demuestra que los valores E son fundamentales para las pruebas: son equivalentes a las pruebas, apenas veladas por un reescalamiento. Desde esta perspectiva, puede resultar sorprendente que los valores E típicos se vean muy diferentes de las pruebas tradicionales: maximizar el objetivo

${\displaystyle \mathbb {E} ^{Q}[\varepsilon _{\alpha }]}$

para una hipótesis alternativa${\displaystyle H_{1}=\{Q\}}$produciría pruebas tradicionales al estilo Neyman-Pearson. De hecho, esto maximiza la probabilidad bajo${\displaystyle Q}$eso${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=1/\alpha }$.

Pero si interpretamos continuamente el valor de la prueba${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }}$como evidencia en contra de la hipótesis, entonces también podríamos estar interesados ​​en maximizar diferentes objetivos como

${\displaystyle \mathbb {E} ^{Q}[\log \varepsilon _{\alpha }]}$.

Esto produce pruebas que son notablemente diferentes de las pruebas tradicionales de Neyman-Pearson, y más adecuadas cuando se combinan mediante la multiplicación ya que son positivas con probabilidad 1 bajo${\displaystyle Q}$Desde este punto de vista, la principal innovación del valor electrónico en comparación con las pruebas tradicionales es maximizar un objetivo de potencia diferente. ^{[ 2 ]}

Para cualquier variable e${\displaystyle E}$ y cualquier${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$y todo${\displaystyle P\in H_{0}}$, sostiene que

${\displaystyle P\left(E\geq {\frac {1}{\alpha }}\right)=P(1/E\leq \alpha )\ {\overset {(*)}{\leq }}\ \alpha }$.

Esto significa${\displaystyle p^{\prime }=1/E}$es un valor p válido. Además, la prueba basada en el valor e con nivel de significancia${\displaystyle \alpha }$, que rechaza${\displaystyle P_{0}}$si${\displaystyle p^{\prime }\leq \alpha }$, tiene un error de tipo I acotado por${\displaystyle \alpha }$Sin embargo, mientras que con los valores p estándar la desigualdad (*) anterior suele ser una igualdad (con datos continuos) o casi una igualdad (con datos discretos), esto no ocurre con las variables e. Esto hace que las pruebas basadas en valores e sean más conservadoras (con menor potencia) que las basadas en valores p estándar.

A cambio de este conservadurismo, el valor p${\displaystyle p^{\prime }=1/E}$viene con una garantía más sólida. En particular, para cada nivel de significancia que posiblemente dependa de los datos.${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}>0}$, tenemos

${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\frac {P(p^{\prime }\leq {\widetilde {\alpha }}\mid {\widetilde {\alpha }})}{\widetilde {\alpha }}}\right]\leq 1,}$

si y solo si${\displaystyle \mathbb {E} [1/p^{\prime }]\leq 1}$. Esto significa que un valor p satisface esta garantía si y solo si es el recíproco.${\displaystyle 1/E}$de una variable e${\displaystyle E}$. ^{[ 3 ]}

La interpretación de esta garantía es que, en promedio, la distorsión relativa del error de tipo I${\displaystyle P(p^{\prime }\leq {\widetilde {\alpha }}\mid {\widetilde {\alpha }})/{\widetilde {\alpha }}}$causado por el uso de un nivel dependiente de los datos${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}}$Se controla para cada elección del nivel de significancia dependiente de los datos. Los valores p tradicionales solo satisfacen esta garantía para niveles independientes de los datos o preespecificados.

Esta garantía más fuerte también se denomina post-hoc${\displaystyle \alpha }$Error de tipo I , ya que permite elegir el nivel de significancia después de observar los datos: post-hoc. Un valor p que satisface esta garantía también se denomina valor p post-hoc . Como${\displaystyle p^{\prime }}$es un valor p post-hoc si y solo si${\displaystyle p^{\prime }=1/E}$para algún valor e${\displaystyle E}$Es posible considerar esto como una definición alternativa de un valor E.

Bajo este error de tipo I post-hoc, el problema de elegir el nivel de significancia${\displaystyle \alpha }$desaparece: podemos simplemente elegir el nivel más pequeño dependiente de los datos en el que rechazamos la hipótesis igualándolo al valor p post-hoc:${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}=p^{\prime }}$De hecho, en este nivel dependiente de los datos tenemos

${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\frac {P(p^{\prime }\leq p^{\prime }\mid p^{\prime })}{p^{\prime }}}\right]=\mathbb {E} \left[{\frac {1}{p^{\prime }}}\right]\leq 1,}$

desde${\displaystyle 1/p^{\prime }}$es una variable e. En consecuencia, podemos rechazar verdaderamente a nivel${\displaystyle p^{\prime }}$y aún así mantener la garantía de error de tipo I post-hoc. Para un valor p tradicional${\displaystyle p}$, rechazar en el nivel p no conlleva tal garantía.

Además, un valor p post hoc hereda las propiedades opcionales de continuación y fusión de los valores e. Pero en lugar de un promedio ponderado aritmético, un promedio armónico ponderado de valores p post hoc sigue siendo un valor p post hoc.

Dejar${\displaystyle H_{0}=\{P_{0}\}}$Sea una hipótesis nula simple.${\displaystyle Q}$ser cualquier otra distribución en${\displaystyle Y}$y dejar

${\displaystyle E:={\frac {q(Y)}{p_{0}(Y)}}}$

sea ​​su razón de verosimilitud. Entonces${\displaystyle E}$es una variable e. Por el contrario, cualquier variable e relativa a una simple nula${\displaystyle H_{0}=\{P_{0}\}}$se puede escribir como una razón de verosimilitud con respecto a alguna distribución${\displaystyle Q}$Por lo tanto, cuando la hipótesis nula es simple, las variables e coinciden con las razones de verosimilitud. Sin embargo, también existen variables e para hipótesis nulas compuestas generales, y en ese caso pueden considerarse generalizaciones de las razones de verosimilitud. Las dos principales formas de construir variables e, UI y RIPr (véase más adelante), dan lugar a expresiones que también son variaciones de las razones de verosimilitud.

Otras dos generalizaciones estándar de la razón de verosimilitud son (a) la razón de verosimilitud generalizada, tal como se utiliza en la prueba de razón de verosimilitud clásica estándar, y (b) el factor de Bayes . Es importante destacar que ni (a) ni (b) son variables e en general: las razones de verosimilitud generalizadas en el sentido (a) no son variables e a menos que la alternativa sea simple (véase más adelante en "inferencia universal"). Los factores de Bayes son variables e si la hipótesis nula es simple. Para ver esto, observe que, si${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\{Q_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$representa un modelo estadístico y${\displaystyle w}$una densidad previa en${\displaystyle \Theta }$, entonces podemos establecer${\displaystyle Q}$como se indicó anteriormente para ser la distribución marginal de Bayes con densidad

${\displaystyle q(Y)=\int q_{\theta }(Y)w(\theta )d\theta }$

y luego${\displaystyle E=q(Y)/p_{0}(Y)}$es también un factor de Bayes de${\displaystyle H_{0}}$vs.${\displaystyle H_{1}:={\mathcal {Q}}}$Si la hipótesis nula es compuesta, entonces algunas variables e especiales pueden escribirse como factores de Bayes con algunas distribuciones a priori muy especiales, pero la mayoría de los factores de Bayes que se encuentran en la práctica no son variables e y muchas variables e que se encuentran en la práctica no son factores de Bayes. ^{[ 4 ]}

Supongamos que puedes comprar un boleto por 1 unidad monetaria, con una ganancia no negativa.${\displaystyle E=E(Y)}$. Las declaraciones "${\displaystyle E}$"es una variable e" y "si la hipótesis nula es verdadera, no esperas ganar dinero si participas en esta apuesta" son lógicamente equivalentes. Esto se debe a que${\displaystyle E}$Ser una variable e significa que la ganancia esperada al comprar el boleto es el pago menos el costo, es decir ${\displaystyle E-1}$, que tiene expectativas${\displaystyle \leq 0}$. Basándonos en esta interpretación, el valor e del producto para una secuencia de pruebas puede interpretarse como la cantidad de dinero que se ha ganado apostando secuencialmente con pagos dados por las variables e individuales y reinvirtiendo siempre todas las ganancias. ^{[ 5 ]}

La interpretación de las apuestas se hace particularmente visible si reescribimos una variable e como ${\displaystyle E:=1+\lambda U}$dónde ${\displaystyle U}$tiene expectativas ${\displaystyle \leq 0}$bajo todo ${\displaystyle P\in H_{0}}$y ${\displaystyle \lambda \in {\mathbb {R} }}$se elige de modo que ${\displaystyle E\geq 0}$como Cualquier variable e puede escribirse en el ${\displaystyle 1+\lambda U}$Aunque con hipótesis nulas paramétricas , escribirlo como una razón de verosimilitud suele ser matemáticamente más conveniente. ${\displaystyle 1+\lambda U}$Por otro lado, la forma suele ser más conveniente en entornos no paramétricos . Como ejemplo prototípico, ^{[ 6 ]} considérese el caso que ${\displaystyle Y=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$con el${\displaystyle X_{i}}$tomando valores en el intervalo acotado${\displaystyle [0,1]}$. De acuerdo a${\displaystyle H_{0}}$, el${\displaystyle X_{i}}$son i.i.d. según una distribución${\displaystyle P}$con significa${\displaystyle \mu }$; no hay otras suposiciones sobre${\displaystyle P}$se hacen. Entonces podemos construir primero una familia de variables e para resultados individuales,${\displaystyle E_{i,\lambda }:=1+\lambda (X_{i}-\mu )}$, para cualquier${\displaystyle \lambda \in [-1/(1-\mu ),1/\mu ]}$(estos son los ${\displaystyle \lambda }$para qué${\displaystyle E_{i,\lambda }}$(se garantiza que es no negativo). Entonces podemos definir una nueva variable e para el vector de datos completo.${\displaystyle Y}$al tomar el producto

${\displaystyle E:=\prod _{i=1}^{n}E_{i,{\breve {\lambda }}|X^{i-1}}}$,

dónde${\displaystyle {\breve {\lambda }}|X^{i-1}}$es una estimación para${\displaystyle {\lambda }}$, basándose únicamente en datos pasados${\displaystyle X^{i-1}=(X_{1},\ldots ,X_{i-1})}$y diseñado para hacer ${\displaystyle E_{i,\lambda }}$lo más amplio posible en el sentido de "e-power" o "GRO" (véase más abajo). Waudby-Smith y Ramdas utilizan este enfoque para construir intervalos de confianza "no paramétricos" para la media que tienden a ser significativamente más estrechos que los basados ​​en métodos más clásicos como los límites de Chernoff, Hoeffding y Bernstein . ^{[ 6 ]}

Dejar${\displaystyle H_{0}=\{P_{0}\}}$y${\displaystyle H_{1}=\{Q\}}$ambos sean simples. Entonces la razón de verosimilitud variable e ${\displaystyle E=q(Y)/p_{0}(Y)}$tiene potencia electrónica máxima en el sentido anterior, es decir, es GRO. ^{[ 4 ]}

Dejar ${\displaystyle H_{1}=\{Q\}}$sea ​​simple y${\displaystyle H_{0}=\{P_{\theta }:\theta \in \Theta _{0}\}}$ser compuesto, de tal manera que todos los elementos de${\displaystyle H_{0}\cup H_{1}}$tienen densidades (denotadas por letras minúsculas) relativas a la misma medida subyacente. Grünwald et al. muestran que bajo condiciones de regularidad débil, la variable e de GRO existe, es esencialmente única y está dada por

${\displaystyle E:={\frac {q(Y)}{p_{\curvearrowleft Q}(Y)}}}$

dónde${\displaystyle p_{\curvearrowleft Q}}$es la Proyección de Información Inversa (RIPr) de ${\displaystyle Q}$hasta la envoltura convexa de ${\displaystyle H_{0}}$. ^{[ 8 ]} Bajo condiciones de regularidad adicionales (y en todos los casos prácticamente relevantes encontrados hasta ahora), ${\displaystyle p_{\curvearrowleft Q}}$viene dada por una densidad marginal de Bayes : existe una distribución específica y única.${\displaystyle W}$en ${\displaystyle \Theta _{0}}$de tal manera que ${\displaystyle p_{\curvearrowleft Q}(Y)=\int _{\Theta _{0}}p_{\theta }(Y)dW(\theta )}$.

En el mismo contexto que el anterior, ^{[ 10 ]} muestran que, bajo ninguna condición de regularidad,

${\displaystyle E={\frac {q(Y)}{\sup _{P\in H_{0}}p(Y)}}\left(={\frac {q(Y)}{{p}_{{\hat {\theta }}\mid Y}(Y)}}\right)}$

es una variable e (con la segunda igualdad cumpliéndose si el MLE ( estimador de máxima verosimilitud ) ${\displaystyle {\hat {\theta }}\mid Y}$basado en datos${\displaystyle Y}$siempre está bien definido). Esta forma de construir variables e se ha denominado método de inferencia universal (UI) , donde "universal" se refiere al hecho de que no se requieren condiciones de regularidad.

Ahora dejemos ${\displaystyle H_{0}=\{P\}}$sea ​​simple y ${\displaystyle H_{1}=\{Q_{\theta }:\theta \in \Theta _{1}\}}$ser compuesto, de tal manera que todos los elementos de${\displaystyle H_{0}\cup H_{1}}$tienen densidades relativas a la misma medida subyacente. Ahora existen dos formas genéricas y estrechamente relacionadas de obtener variables e que se aproximan al crecimiento óptimo (redefinidas adecuadamente ^{[ 4 ]} para compuesto).${\displaystyle H_{1}}$): el método de mezclas de Robbins y el método de sustitución , originalmente debido a Wald ^{[ 11 ]} pero, en esencia, redescubierto por Philip Dawid como "sustitución prequential" ^{[ 12 ]} y Jorma Rissanen como " MDL predictivo " ^{[ 13 ]} . El método de mezclas esencialmente equivale a "ser bayesiano sobre el numerador" (la razón por la que no se llama "método bayesiano" es que, cuando tanto la hipótesis nula como la alternativa son compuestas, el numerador a menudo puede no ser una marginal bayesiana): postulamos cualquier distribución previa${\displaystyle W}$en${\displaystyle \Theta _{1}}$y establecer

${\displaystyle {\bar {q}}_{W}(Y):=\int _{\Theta _{1}}q_{\theta }(Y)dW(\theta )}$

y utilice la variable e${\displaystyle {\bar {q}}_{W}(Y)/p(Y)}$.

Para explicar el método de conexión, supongamos que${\displaystyle Y=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$dónde ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ constituir un proceso estocástico y dejar ${\displaystyle {\breve {\theta }}\mid X^{i}}$ser un estimador de ${\displaystyle \theta \in \Theta _{1}}$basado en datos ${\displaystyle X^{i}=(X_{1},\ldots ,X_{i})}$ para${\displaystyle i\geq 0}$En la práctica, normalmente se toma un estimador de máxima verosimilitud "suavizado" (como, por ejemplo, los coeficientes de regresión en la regresión de cresta ), establecido inicialmente en algún "valor predeterminado".${\displaystyle {\breve {\theta }}\mid X^{0}:=\theta _{0}}$Ahora se construye recursivamente una densidad ${\displaystyle {\bar {q}}_{\breve {\theta }}}$para${\displaystyle X^{n}}$ al establecer ${\displaystyle {\bar {q}}_{\breve {\theta }}(X^{n})=\prod _{i=1}^{n}q_{{\breve {\theta }}\mid X^{i-1}}(X_{i}\mid X^{i-1})}$.

En efecto, tanto el método de mezclas como el método de sustitución pueden considerarse como el aprendizaje de una instancia específica de la alternativa que explique bien los datos. ^{[ 4 ]}

En configuraciones paramétricas , podemos simplemente combinar los métodos principales para la alternativa compuesta (obteniendo ${\displaystyle {\bar {q}}_{\breve {\theta }}}$o${\displaystyle {\bar {q}}_{W}}$) con los métodos principales para el nulo compuesto (UI o RIPr, utilizando la distribución única ${\displaystyle {\bar {q}}_{\breve {\theta }}}$o ${\displaystyle {\bar {q}}_{W}}$como alternativa). Tenga en cuenta en particular que cuando se utiliza el método de complemento junto con el método de interfaz de usuario, la variable e resultante tendrá el siguiente aspecto:

${\displaystyle {\frac {\prod _{i=1}^{n}q_{{\breve {\theta }}\mid X^{i-1}}(X_{i})}{q_{{\hat {\theta }}\mid X^{n}}(X^{n})}}}$

que se asemeja, pero sigue siendo fundamentalmente diferente, de la razón de verosimilitud generalizada tal como se utiliza en la prueba clásica de razón de verosimilitud .

La ventaja del método UI en comparación con RIPr es que (a) se puede aplicar siempre que el MLE se pueda calcular de manera eficiente; en muchos de estos casos, no se sabe si/cómo se puede calcular la proyección de información inversa; y (b) que proporciona "automáticamente" no solo una variable e sino un proceso e completo (véase más abajo): si reemplazamos${\displaystyle n}$en la fórmula anterior por un tiempo de parada general${\displaystyle \tau }$, la relación resultante sigue siendo una variable e; para la proyección de información inversa, esta generación automática de procesos e solo se cumple en casos especiales.

Su principal desventaja en comparación con RIPr es que puede ser sustancialmente subóptimo en términos del criterio e-power/GRO, lo que significa que conduce a pruebas que también tienen menos potencia estadística clásica que los métodos basados ​​en RIPr. Por lo tanto, para entornos en los que el método RIPr es computacionalmente factible y conduce a procesos e, es preferible. Estos incluyen la prueba z, la prueba t y las regresiones lineales correspondientes, pruebas de k muestras con distribuciones de Bernoulli, Gaussiana y Poisson y la prueba de log-rank ( hay un paquete de R disponible para un subconjunto de estas), así como pruebas de independencia condicional bajo una suposición de modelo-X . ^{[ 14 ]} Sin embargo, en muchos otros problemas de pruebas estadísticas, actualmente (2023) se desconoce si existen implementaciones rápidas de la proyección de información inversa, y es muy posible que no existan (por ejemplo, modelos lineales generalizados sin la suposición de modelo-X).

En entornos no paramétricos (como al probar una media como en el ejemplo anterior, o al realizar pruebas no paramétricas de 2 muestras), a menudo es más natural considerar variables e de la ${\displaystyle 1+\lambda U}$tipo. Sin embargo, aunque superficialmente parecen muy diferentes de las razones de verosimilitud, a menudo pueden interpretarse como tales y, a veces, incluso pueden reinterpretarse como la implementación de una versión de la construcción RIPr. ^{[ 4 ]}

Finalmente, en la práctica, a veces se recurre a combinaciones matemáticamente o computacionalmente convenientes de RIPr, UI y otros métodos. ^{[ 4 ]} Por ejemplo, RIPr se aplica para obtener variables e óptimas para pequeños bloques de resultados y luego se multiplican para obtener variables e para muestras más grandes; estas variables e funcionan bien en la práctica, pero ya no pueden considerarse óptimas.

Existen funciones que convierten valores p en valores e. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} Dichas funciones se denominan calibradores p-a-e . Formalmente, un calibrador es una función decreciente no negativa.${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow [0,\infty ]}$que, al aplicarse a una variable p (una variable aleatoria cuyo valor es un valor p ), produce una variable e. Un calibrador${\displaystyle f}$Se dice que domina a otro calibrador.${\displaystyle g}$si${\displaystyle f\geq g}$y esta dominación es estricta si la desigualdad es estricta. Un calibrador admisible es aquel que no está estrictamente dominado por ningún otro calibrador. Se puede demostrar que para que una función sea un calibrador, debe tener una integral de como máximo 1 sobre la medida de probabilidad uniforme .

Una familia de calibradores admisibles viene dada por el conjunto de funciones ${\displaystyle \{f_{\kappa }:0<\kappa <1\}}$con${\displaystyle f_{\kappa }(p):=\kappa p^{\kappa -1}}$Otro calibrador se obtiene integrando${\displaystyle \kappa }$:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\kappa p^{\kappa -1}d\kappa ={\frac {1-p+p\log p}{p(-\log p)^{2}}}}$

Por el contrario, un calibrador e-to-p transforma los valores e de nuevo en variables p. Curiosamente, el siguiente calibrador supera a todos los demás calibradores e-to-p:

${\displaystyle f(t):=\min(1,1/t)}$.

Aunque de importancia teórica, la calibración no se utiliza mucho en el diseño práctico de variables e, ya que las variables e resultantes a menudo están lejos de ser óptimas para el crecimiento en cualquier caso dado.${\displaystyle H_{1}}$. ^{[ 8 ]}

Ahora consideremos los datos.${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$llegando secuencialmente, constituyendo un proceso estocástico de tiempo discreto . Sea${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$ser otro proceso de tiempo discreto donde para cada${\displaystyle n,E_{n}}$puede escribirse como una función (medible) de la primera${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$resultados. Llamamos${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$un proceso electrónico si por algún tiempo de parada${\displaystyle \tau ,E_{\tau }}$es una variable e, es decir, para todos${\displaystyle P\in H_{0}:{\mathbb {E} }_{P}[E_{\tau }]\leq 1}$.

En los casos básicos, el tiempo de parada puede definirse mediante cualquier regla que determine, en cada tamaño de muestra${\displaystyle n}$, basándose únicamente en los datos observados hasta el momento, decidir si se debe dejar de recopilar datos o no. Por ejemplo, esto podría ser "detenerse cuando se hayan observado cuatro resultados consecutivos mayores que 1", "detenerse en${\displaystyle n=100}$", o el nivel-${\displaystyle \alpha }$-regla agresiva , "detente tan pronto como puedas rechazar en el nivel${\displaystyle \alpha }$-nivel, es decir, en el más pequeño${\displaystyle n}$de tal manera que ${\displaystyle E_{n}\geq 1/\alpha }$", y así sucesivamente. Con los procesos electrónicos, obtenemos una variable electrónica con cualquier regla de este tipo. Fundamentalmente, el analista de datos puede desconocer la regla utilizada para detenerse. Por ejemplo, su jefe puede indicarle que detenga la recopilación de datos y ella puede desconocer el motivo exacto; sin embargo, obtiene una variable electrónica válida y un control de errores de tipo I. Esto contrasta marcadamente con el análisis de datos basado en valores p (que se vuelve inválido si las reglas de detención no se determinan de antemano) o con el análisis secuencial clásico de estilo Wald (que funciona con datos de longitud variable, pero, de nuevo, con tiempos de detención que deben determinarse de antemano). En casos más complejos, el tiempo de detención debe definirse en relación con algún filtrado ligeramente reducido , pero esto no supone una gran restricción en la práctica. En particular, el nivel-${\displaystyle \alpha }$La regla agresiva siempre está permitida. Debido a esta validez bajo parada opcional, los procesos electrónicos son el componente fundamental de las secuencias de confianza, también conocidas como intervalos de confianza válidos en cualquier momento. ^{[ 18 ] [ 4 ]}

Técnicamente, los procesos electrónicos son generalizaciones de las supermartingalas de prueba , que son supermartingalas no negativas con valor inicial 1: cualquier supermartingala de prueba constituye un proceso electrónico, pero no al revés.

Los procesos electrónicos se pueden construir de varias maneras. A menudo, se comienza con un valor electrónico.${\displaystyle E_{i}}$para${\displaystyle X_{i}}$cuya definición puede depender de datos previos, es decir,

a pesar de${\displaystyle P\in H_{0}:{\mathbb {E} }_{P}[E_{i}|X_{1},\ldots ,X_{i-1}]\leq 1}$

(de nuevo, en problemas de prueba complejos esta definición debe modificarse un poco utilizando filtraciones reducidas). Luego el proceso del producto${\displaystyle M_{1},M_{2},\ldots }$con${\displaystyle M_{n}=E_{1}\times E_{2}\cdots \times E_{n}}$es una supermartingala de prueba y, por lo tanto, también un proceso e (nótese que ya utilizamos esta construcción en el ejemplo descrito en "valores e como apuestas" más arriba: para fijo${\displaystyle \lambda }$, los valores e${\displaystyle E_{i,\lambda }}$no dependían de datos pasados, sino que mediante el uso${\displaystyle \lambda ={\breve {\lambda }}|X^{i-1}}$(dependiendo del pasado, se volvieron dependientes de los datos pasados).

Otra forma de construir un proceso electrónico es utilizar la construcción de inferencia universal descrita anteriormente para los tamaños de muestra.${\displaystyle 1,2,\ldots }$La secuencia resultante de valores e${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$será entonces siempre un proceso electrónico. ^{[ 4 ]}