ecuación de Dym

En matemáticas , y en particular en la teoría de solitones , la ecuación de Dym ( HD ) es una ecuación diferencial parcial de tercer orden.

${\displaystyle u_{t}=u^{3}u_{xxx}.\,}$

A menudo se escribe en la forma equivalente para alguna función v de una variable espacial y temporal.

${\displaystyle v_{t}=(v^{-1/2})_{xxx}.\,}$

La ecuación de Dym apareció por primera vez en Kruskal ^{[ 1 ]} y se atribuye a un artículo no publicado de Harry Dym .

La ecuación de Dym representa un sistema en el que la dispersión y la no linealidad están acopladas. HD es una ecuación de evolución no lineal completamente integrable que puede resolverse mediante la transformada de dispersión inversa . Obedece a un número infinito de leyes de conservación ; no posee la propiedad de Painlevé .

La ecuación de Dym tiene fuertes vínculos con la ecuación de Korteweg-de Vries . C.S. Gardner, J.M. Greene, Kruskal y R.M. Miura aplicaron la ecuación de Dym a la solución del problema correspondiente en la ecuación de Korteweg-de Vries . El par de Lax de la ecuación de Harry-Dym está asociado con el operador de Sturm-Liouville . La transformación de Liouville transforma este operador isoespectralmente en el operador de Schrödinger . ^{[ 2 ]} Así, mediante la transformación inversa de Liouville, las soluciones de la ecuación de Korteweg-de Vries se transforman en soluciones de la ecuación de Dym. Una solución explícita de la ecuación de Dym, válida en un intervalo finito, se encuentra mediante una transformación de Bäcklund automática. ^{[ 2 ]}

${\displaystyle u(t,x)=\left[-3\alpha \left(x+4\alpha ^{2}t\right)\right]^{2/3}.}$

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