Dutch book arguments

In decision theory, economics, and probability theory, the Dutch book arguments are a set of results showing that agents must satisfy the axioms of rational choice to avoid a kind of self-contradiction called a Dutch book. A Dutch book, sometimes also called a money pump, is a set of bets that ensures a guaranteed loss, i.e., the gambler will lose money no matter what happens.^[1] A set of bets is called coherent if it cannot result in a Dutch book.

The Dutch book arguments are used to explore degrees of certainty in beliefs, and demonstrate that rational bet-setters must be Bayesian;^[2] in other words, a rational bet-setter must assign event probabilities that behave according to the axioms of probability, and must have preferences that can be modeled using the von Neumann–Morgenstern axioms.

In economics, they are used to model behavior by ruling out situations where agents "burn money" for no real reward. Models based on the assumption that actors are rational are called rational choice models. That assumption is weakened in behavioral models of decision-making.

El experimento mental fue propuesto por primera vez por el probabilista italiano Bruno de Finetti y el polímata inglés Frank P. Ramsey , aparentemente de forma independiente, para justificar la probabilidad bayesiana . ^{[ 1 ] [ 3 ]} Fue explorado más a fondo por Leonard Savage , quien lo desarrolló hasta convertirlo en un modelo completo de elección racional.

Supongamos que tenemos dos jugadores, A y B. El jugador A debe fijar el precio de una promesa de pago de $1 si John Smith gana las elecciones de mañana. El jugador B podrá elegir entre comprar la promesa a A al precio que A ha fijado o exigirle a A que la compre, también al mismo precio. En otras palabras: el jugador A establece las probabilidades, pero el jugador B decide qué lado de la apuesta tomar. El precio que A fija se denomina "probabilidad subjetiva operacional".

Si el jugador A decide que John Smith tiene un 12,5 % de probabilidades de ganar, podría establecer una cuota de 7:1 en su contra. Esta valoración arbitraria —la «probabilidad subjetiva operativa»— determina la ganancia de una apuesta exitosa. Apostar 1 dólar con estas cuotas resultará en una pérdida de 1 dólar (si Smith pierde) o una ganancia de 7 dólares (si Smith gana). En este ejemplo, el dólar también se le devolverá al apostador en caso de ganar.

El argumento estándar de los libros holandeses concluye que los agentes racionales deben tener probabilidades subjetivas para los eventos aleatorios, y que estas probabilidades deben satisfacer los axiomas estándar de probabilidad. En otras palabras, cualquier persona racional debe estar dispuesta a asignar una probabilidad subjetiva (cuantitativa) a diferentes eventos.

Cabe señalar que este argumento no implica que los agentes estén dispuestos a participar en juegos de azar en el sentido tradicional. El término «apuesta», tal como se usa aquí, se refiere a cualquier tipo de decisión tomada en condiciones de incertidumbre . Por ejemplo, comprar un producto desconocido en un supermercado es una especie de «apuesta» (el comprador «apuesta» a que el producto es bueno), al igual que subirse a un coche («apostar» a que el conductor no tendrá un accidente).

Se dice que una persona que fija los precios de varias apuestas de forma que obtenga una ganancia neta independientemente del resultado, ha realizado una apuesta a la holandesa. Cuando se tiene una apuesta a la holandesa, el oponente siempre pierde. Quien fija los precios de forma que le proporciona a su oponente una apuesta a la holandesa no actúa racionalmente.

Now imagine a more complicated scenario. One must set the prices of three promises:

• to pay $1 if the Red Sox win tomorrow's game: the purchaser of this promise loses their bet if the Red Sox do not win regardless of whether their failure is due to their loss of a completed game or cancellation of the game, and
• to pay $1 if the Red Sox win, and to refund the price of the promise if the game is cancelled, and
• to pay $1 if the game is completed, regardless of who wins.

Three outcomes are possible: The game is cancelled; the game is played and the Red Sox lose; the game is played and the Red Sox win. One may set the prices in such a way that

$${\displaystyle {\text{Precio}}({\text{partido completado}})\times {\text{Precio}}({\text{victoria de los Red Sox}}\mid {\text{partido completado}})\neq {\text{Precio}}({\text{victoria de los Red Sox y partido completado}})}$$

(where the second price above is that of the bet that includes the refund in case of cancellation). (Note: The prices here are the dimensionless numbers obtained by dividing by $1, which is the payout in all three cases.) A prudent opponent writes three linear inequalities in three variables. The variables are the amounts they will invest in each of the three promises; the value of one of these is negative if they will make the price-setter buy that promise and positive if they will buy it. Each inequality corresponds to one of the three possible outcomes. Each inequality states that your opponent's net gain is more than zero. A solution exists if the determinant of the matrix is not zero. That determinant is:

$${\displaystyle {\text{Price}}({\text{completed game}})\times {\text{Price}}({\text{Red Sox win}}\mid {\text{completed game}})-{\text{Price}}({\text{Red Sox win and completed game}}).}$$

Thus, a prudent opponent can make the price setter a sure loser unless one sets one's prices in a way that parallels the simplest conventional characterization of conditional probability.

En la edición de 2015 del Derby de Kentucky , el favorito ("American Pharaoh") tenía una cuota de 5:2 en las apuestas previas , el segundo favorito de 3:1 y el tercero de 8:1. Todos los demás caballos tenían cuotas en contra de 12:1 o superiores. Con estas cuotas, una apuesta de 10 dólares a cada uno de los 18 participantes resultaría en una pérdida neta si ganara el favorito o el segundo favorito.

Sin embargo, si se asume que ningún caballo con una cuota de 12:1 o superior ganará, y se apuestan 10 dólares a cada uno de los tres primeros, se garantiza al menos una pequeña ganancia. El favorito (que sí ganó) generaría un pago de 25 dólares, más los 10 dólares apostados, lo que daría un saldo final de 35 dólares (un aumento neto de 5 dólares). Una victoria del segundo favorito produciría un pago de 30 dólares más los 10 dólares apostados inicialmente, para un aumento neto de 10 dólares. Una victoria del tercer favorito daría 80 dólares más los 10 dólares apostados inicialmente, para un aumento neto de 60 dólares.

Este tipo de estrategia, en lo que respecta únicamente a los tres primeros, conforma un "Libro Holandés". Sin embargo, si se consideran los dieciocho contendientes, entonces no existe un "Libro Holandés" para esta carrera.

En economía, el ejemplo clásico de una situación en la que un consumidor puede ser intransitivo se da cuando tiene preferencias intransitivas . La teoría económica clásica presupone que las preferencias son transitivas : si alguien piensa que A es mejor que B y B es mejor que C, entonces debe pensar que A es mejor que C. Además, no puede haber ciclos de preferencias.

El argumento de la bomba de dinero señala que si alguien tiene un conjunto de preferencias intransitivas, se le puede explotar (inflar) para obtener dinero hasta obligarlo a salir del mercado. Imaginemos que Jane tiene $20 para comprar fruta. Puede llenar su canasta con naranjas o manzanas. Jane preferiría tener un dólar en lugar de una manzana, una manzana en lugar de una naranja y una naranja en lugar de un dólar. Como Jane prefiere una naranja a un dólar, está dispuesta a comprar una naranja por poco más de un dólar (quizás $1.10). Luego, cambia su naranja por una manzana, porque prefiere una manzana a una naranja. Finalmente, vende su manzana por un dólar, porque prefiere un dólar a una manzana. En este punto, a Jane le quedan $19.90, ha perdido 10 centavos y no ha ganado nada a cambio. Este proceso se puede repetir hasta que Jane se quede sin dinero. (Cabe señalar que, si Jane realmente tuviera estas preferencias, no vería nada malo en este proceso; en cada paso, Jane reconoce que ha salido beneficiada). Tras quedarse sin dinero, Jane debe abandonar el mercado, y sus preferencias y acciones dejan de tener relevancia económica.

Los experimentos en economía conductual muestran que los sujetos pueden violar el requisito de preferencias transitivas al comparar apuestas. ^{[ 4 ]} Sin embargo, la mayoría de los sujetos no toman estas decisiones en comparaciones dentro del mismo sujeto donde la contradicción se hace obviamente visible (en otras palabras, los sujetos no tienen preferencias genuinamente intransitivas, sino que cometen errores al tomar decisiones utilizando heurísticas ).

Los economistas suelen argumentar que las personas con preferencias como las de Jane perderán toda su riqueza en el mercado. Si esto es así, no observaremos preferencias con intransitividad ni otras características que permitan que las personas sean objeto de un análisis de precios basado en la teoría de la inversión holandesa. Sin embargo, si las personas son algo sofisticadas respecto a sus intransitividades y/o si la competencia de los arbitrajistas reduce épsilon a cero, aún podrían observarse preferencias no "estándar".

Se puede demostrar que el conjunto de precios es coherente cuando satisfacen los axiomas de probabilidad y resultados relacionados, como el principio de inclusión-exclusión .

Los argumentos del libro holandés pueden aplicarse a experimentos mentales en teoría de la probabilidad, como el problema de la Bella Durmiente . Filósofos como Christopher Hitchcock han argumentado que la Bella Durmiente está sujeta a libros holandeses si asigna una credibilidad de 1/2. ^{[ 5 ]} Se ha argumentado que quienes utilizan la teoría de la mitad pueden evitar los libros holandeses adoptando la teoría de la decisión evidencial . Sin embargo, Vincent Conitzer argumenta que quienes utilizan la teoría de la mitad siguen viéndose afectados por los libros holandeses incluso después de adoptar dicha teoría. ^{[ 6 ]}

• "Bayesian Epistemology"
• Dutch Book Arguments in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Probabilities as Betting Odds, report by C. Caves.
• Notes on the Dutch Book Argument, by D. A. Freedman.