Módulo de duplicación

En álgebra abstracta , un módulo dualizante , también llamado módulo canónico , es un módulo sobre un anillo conmutativo análogo al fibrado canónico de una variedad lisa . Se utiliza en la dualidad local de Grothendieck .

Un módulo dualizador para un anillo noetheriano R es un módulo finitamente generado M tal que para cualquier ideal maximal m , el espacio vectorial R / m Ext ⁿ _R ( R / m , M ) se anula si n ≠ altura( m ) y es unidimensional si n = altura( m ).    

Un módulo dualizante no tiene por qué ser único, ya que el producto tensorial de cualquier módulo dualizante con un módulo proyectivo de rango 1 también es un módulo dualizante. Sin embargo, esta es la única forma en que el módulo dualizante no es único: dados dos módulos dualizantes cualesquiera, uno es isomorfo al producto tensorial del otro con un módulo proyectivo de rango 1. En particular, si el anillo es local, el módulo dualizante es único salvo isomorfismo.

Un anillo noetheriano no necesariamente posee un módulo dualizante. Todo anillo con un módulo dualizante debe ser de Cohen-Macaulay . A la inversa, si un anillo de Cohen-Macaulay es un cociente de un anillo de Gorenstein, entonces posee un módulo dualizante. En particular, todo anillo de Cohen-Macaulay local completo posee un módulo dualizante. Para anillos sin módulo dualizante, a veces es posible utilizar el complejo dualizante como sustituto.

Si R es un anillo de Gorenstein, entonces R considerado como un módulo sobre sí mismo es un módulo dualizante.

Si R es un anillo local artiniano , entonces el módulo de Matlis de R (la envoltura inyectiva del campo residual) es el módulo dualizante.

El anillo local artiniano R  = k [ x , y ]/( x ² , y ² , xy ) tiene un único módulo dualizador, pero no es isomorfo a R . 

El anillo Z [ √ –5 ] tiene dos módulos dualizantes no isomorfos, que corresponden a las dos clases de ideales invertibles.

El anillo local k [ x , y ]/( y ² , xy ) no es de Cohen-Macaulay, por lo que no tiene un módulo dualizador.

• haz dualizador

• Bourbaki, N. (2007), Algèbre conmutativo. Capítulo 10 , Éléments de mathématique (en francés), Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-34394-3, MR 2333539 
• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Anillos de Cohen-Macaulay , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  39, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956