Doble integrador

En teoría de sistemas y control , el integrador doble es un ejemplo canónico de un sistema de control de segundo orden . ^[1] Modela la dinámica de una masa simple en un espacio unidimensional bajo el efecto de una entrada de fuerza que varía en el tiempo . ${\displaystyle {\textbf {u}}}$

Las ecuaciones diferenciales que representan un integrador doble son:

${\displaystyle {\ddot {q}}=u(t)}$

${\displaystyle y=q(t)}$

donde ambos Representemos ahora esto en forma de espacio de estados con el vector${\displaystyle q(t),u(t)\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\textbf {x(t)}}={\begin{bmatrix}q\\{\dot {q}}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\begin{bmatrix}{\dot {q}}\\{\ddot {q}}\\\end{bmatrix}}}$

En esta representación, queda claro que la entrada de control es la segunda derivada de la salida . En la forma escalar, la entrada de control es la segunda derivada de la salida . ${\displaystyle {\textbf {u}}}$${\displaystyle {\textbf {x}}}$${\estilo de visualización q}$

El modelo de espacio de estados normalizado de un integrador doble toma la forma

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t).}$

Según este modelo, la entrada es la segunda derivada de la salida , de ahí el nombre de doble integrador. ${\displaystyle {\textbf {u}}}$${\displaystyle {\textbf {y}}}$

Tomando la transformada de Laplace de la ecuación de entrada-salida del espacio de estados, vemos que la función de transferencia del integrador doble está dada por

${\displaystyle {\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{s^{2}}}.}$

Utilizando las ecuaciones diferenciales dependientes de y , y la representación en el espacio de estados: ${\displaystyle q(t),y(t),u(t)}$${\displaystyle {\textbf {x(t)}}}$