Esquema divisional

En geometría algebraica, un esquema divisorial es un esquema que admite una familia amplia de fibrados lineales, en oposición a un fibrado lineal amplio . En particular, una variedad cuasi-proyectiva es un esquema divisorial y la noción es una generalización de "cuasi-proyectiva". Fue introducida en (Borelli 1963) (en el caso de una variedad) así como en (SGA 6, Exposé II, 2.2.) (en el caso de un esquema). El término "divisorial" se refiere al hecho de que "la topología de estas variedades está determinada por sus divisores positivos". ^[1] La clase de esquemas divisoriales es bastante grande: incluye esquemas afines, esquemas regulares separados (noetherianos) y subesquemas de un esquema divisorial (como variedades proyectivas ).

Aquí está la definición en SGA 6, que es una versión más general de la definición de Borelli. Dado un esquema cuasi-compacto cuasi-separado X , se dice que una familia de haces invertibles en él es una familia amplia si los subconjuntos abiertos forman una base de la topología (de Zariski) en X ; en otras palabras, hay una cubierta afín abierta de X que consiste en conjuntos abiertos de dicha forma. ^[2] Entonces se dice que un esquema es divisorio si existe dicha familia amplia de haces invertibles. ${\displaystyle L_{i},i\in I}$${\displaystyle U_{f}=\{f\neq 0\},f\en \Gamma (X,L_{i}^{\otimes n}),i\en I,n\geq 1}$

Dado que un subesquema de un esquema divisorio es divisorio, "divisorio" es una condición necesaria para que un esquema esté incluido en una variedad suave (o, más generalmente, en un esquema regular noetheriano separado). Hasta cierto punto, también es una condición suficiente. ^[3]

Un esquema divisorio tiene la propiedad de resolución ; es decir, un haz coherente es un cociente de un fibrado vectorial. ^[4] En particular, un esquema que no tiene la propiedad de resolución es un ejemplo de un esquema no divisorio.

• El truco de Jouanolou

• Berthelot, Pierre ; Alejandro Grothendieck ; Luc Illusie , eds. (1971). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966–67 - Théorie des junctions et théorème de Riemann – Roch - (SGA 6) (Apuntes de conferencias de matemáticas 225 ) . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 225. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . xii+700. doi :10.1007/BFb0066283. ISBN 978-3-540-05647-8.Sr. 0354655  .
• Borelli, Mario (1963). "Variedades divisionales". Revista del Pacífico de Matemáticas . 13 (2): 375–388. doi : 10.2140/pjm.1963.13.375 . MR  0153683.
• Zanchetta, Ferdinando (15 de junio de 2020). "Incorporación de esquemas divisorios en esquemas suaves". Journal of Algebra . 552 : 86–106. doi :10.1016/j.jalgebra.2020.02.006. ISSN  0021-8693.