Regla de divisibilidad

Primero, toma cualquier número (en este ejemplo, el 376) y anota su último dígito, descartando los demás. Luego, toma ese dígito (el 6), ignorando el resto del número, y determina si es divisible por 2. Si lo es, entonces el número original también lo es.

Ejemplo

1. 376 (El número original)
2. 37 6 (Toma el último dígito)
3. 6 ÷ 2 = 3 (Comprueba si el último dígito es divisible por 2)
4. 376 ÷ 2 = 188 (Si el último dígito es divisible por 2, entonces el número entero es divisible por 2) ^{[ 9 ]}

Primero, toma cualquier número (en este ejemplo, 492) y suma sus dígitos (4 + 9 + 2 = 15). Luego, toma esa suma (15) y determina si es divisible por 3. El número original es divisible por 3 (o por 9) si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 3 (o por 9).

Si se suman los dígitos de un número y luego se repite el proceso con el resultado hasta que solo quede un dígito, se obtendrá el resto de la división del número original entre nueve (a menos que ese único dígito sea nueve, en cuyo caso el número es divisible por nueve y el resto es cero).

Esto se puede generalizar a cualquier sistema posicional estándar , en el que el divisor en cuestión se convierte entonces en uno menos que la base ; así, en base doce , los dígitos sumarán el resto del número original si se divide por once, y los números son divisibles por once solo si la suma de sus dígitos es divisible por once.

Ejemplo.

1. 492 (El número original)
2. 4 + 9 + 2 = 15 (Suma cada dígito individualmente)
3. 15 es divisible por 3, punto en el que podemos detenernos. Alternativamente, podemos continuar usando el mismo método si el número sigue siendo demasiado grande:
4. 1 + 5 = 6 (Suma cada dígito individualmente)
5. 6 ÷ 3 = 2 (Comprueba si el número obtenido es divisible por 3)
6. 492 ÷ 3 = 164 (Si el número obtenido al aplicar la regla es divisible por 3, entonces el número entero es divisible por 3).

La regla básica de divisibilidad por 4 es que si el número formado por los dos últimos dígitos de un número es divisible por 4, el número original es divisible por 4; ^{[ 2 ] [ 3 ]} esto se debe a que 100 es divisible por 4 y, por lo tanto, sumar centenas, millares, etc. es simplemente sumar otro número que es divisible por 4. Si algún número termina en un número de dos dígitos que es divisible por 4 (por ejemplo, 24, 04, 08, etc.), entonces el número completo será divisible por 4 independientemente de lo que esté antes de los dos últimos dígitos.

Como alternativa, basta con sumar la mitad del último dígito al penúltimo (o al número restante). Si ese número es un número natural par , el número original es divisible por 4.

También se puede simplemente dividir el número entre 2 y comprobar si el resultado es divisible por 2. Si lo es, el número original es divisible por 4. Además, el resultado de esta prueba es el mismo que el del número original dividido entre 4.

Ejemplo. Regla general

1. 2092 (El número original)
2. 20 92 (Toma los dos últimos dígitos del número, descartando los demás)
3. 92 ÷ 4 = 23 (Comprueba si el número es divisible por 4)
4. 2092 ÷ 4 = 523 (Si el número obtenido es divisible por 4, entonces el número original es divisible por 4)

Segundo método

1. 6174 (el número original)
2. Comprueba que el último dígito sea par, de lo contrario 6174 no puede ser divisible por 4.
3. 61 7 4 (Separe los dos últimos dígitos del resto del número)
4. 4 ÷ 2 = 2 (último dígito dividido entre 2)
5. 7 + 2 = 9 (Suma la mitad del último dígito al penúltimo dígito)
6. Como 9 no es par, 6174 no es divisible por 4.

Tercer método

1. 1720 (El número original)
2. 1720 ÷ 2 = 860 (Dividir el número original entre 2)
3. 860 ÷ 2 = 430 (Comprueba si el resultado es divisible por 2)
4. 1720 ÷ 4 = 430 (Si el resultado es divisible por 2, entonces el número original es divisible por 4)

La divisibilidad por 5 se determina fácilmente comprobando el último dígito del número (47 5 ) y viendo si es 0 o 5. Si el último dígito es 0 o 5, el número completo es divisible por 5. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Si el último dígito del número es 0, el resultado será el resto de los dígitos multiplicado por 2. Por ejemplo, si el número 40 termina en cero, multiplicamos el resto de los dígitos (4) por dos (4 × 2 = 8). El resultado es el mismo que el de dividir 40 entre 5 (40/5 = 8).

Si el último dígito del número es 5, el resultado será el doble de los dígitos restantes, más uno. Por ejemplo, si el número 125 termina en 5, entonces tomamos los dígitos restantes (12), los multiplicamos por dos (12 × 2 = 24) y luego les sumamos uno (24 + 1 = 25). El resultado es el mismo que el de dividir 125 entre 5 (125/5 = 25).

Ejemplo. Si el último dígito es 0

1. 110 (El número original)
2. 11 0 (Toma el último dígito del número y comprueba si es 0 o 5)
3. 11 0 (Si es 0, tome los dígitos restantes, descartando el último)
4. 11 × 2 = 22 (Multiplica el resultado por 2)
5. 110 ÷ 5 = 22 (El resultado es el mismo que el número original dividido por 5)

Si el último dígito es 5

1. 85 (El número original)
2. 8 5 (Toma el último dígito del número y comprueba si es 0 o 5)
3. 8 5 (Si es 5, toma los dígitos restantes, descartando el último)
4. 8 × 2 = 16 (Multiplica el resultado por 2)
5. 16 + 1 = 17 (Suma 1 al resultado)
6. 85 ÷ 5 = 17 (El resultado es el mismo que el número original dividido por 5)

La divisibilidad por 6 se determina comprobando el número original para ver si es un número par ( divisible por 2 ) y divisible por 3. ^{[ 6 ]}

Si el último dígito es par, el número es divisible por dos y, por lo tanto, puede ser divisible por 6. Si es divisible por 2, se suman los dígitos del número original y se comprueba si la suma es múltiplo de 3. Cualquier número que sea múltiplo tanto de 2 como de 3 es múltiplo de 6.

Ejemplo.

1. 324 (El número original)
2. El último dígito, el 4, es par, por lo que 324 es divisible por 2 y puede ser divisible por 6.
3. 3 + 2 + 4 = 9, que es múltiplo de 3. Por lo tanto, el número original es divisible por 2 y por 3, y también es divisible por 6.

La divisibilidad por 7 se puede comprobar mediante un método recursivo. Un número de la forma 10x + y  es divisible por 7 si y solo si x − 2y es divisible por 7. En otras palabras, se resta el doble del último dígito al número formado por los dígitos restantes. Se continúa haciendo esto hasta obtener un número del que se sabe si es divisible por 7. El número original es divisible por 7 si y solo si el número obtenido mediante este procedimiento es divisible por 7. Por ejemplo, el número 371: 37 − (2 × 1) = 37 − 2 = 35; 3 − (2 × 5) = 3 − 10 = −7; por lo tanto, como −7 es divisible por 7, 371 es divisible por 7.                   

De manera similar, un número de la forma 10 x  + y es divisible por 7 si y solo si x + 5 y es divisible por 7. ^{[ 10 ]} Por lo tanto, se suma cinco veces el último dígito al número formado por los dígitos restantes, y se continúa haciendo esto hasta obtener un número del cual se sabe si es divisible por 7. ^{[ 5 ] [ 11 ]}   

Otro método es la multiplicación por 3. Un número de la forma 10x +  y tiene el mismo resto al dividirse por 7 que 3x + y . Se debe multiplicar el dígito de la izquierda del número original por 3, sumar el siguiente dígito, tomar el resto al dividirlo por 7 y continuar desde el principio: multiplicar por 3, sumar el siguiente dígito, etc. Por ejemplo, el número 371: 3 × 3 + 7 = 16 con resto 2, y 2 × 3 + 1 = 7. Este método se puede usar para encontrar el resto de la división por 7. ^{[ 11 ]}   

Un algoritmo más complicado para probar la divisibilidad por 7 utiliza el hecho de que 10 ⁰  ≡  1, 10 ¹  ≡  3, 10 ²  ≡  2, 10 ³  ≡  6, 10 ⁴  ≡  4, 10 ⁵  ≡  5, 10 ⁶  ≡  1, ...  (mod  7). Toma cada dígito del número (371) en orden inverso (173), multiplícalos sucesivamente por los dígitos 1 , 3 , 2 , 6 , 4 , 5 , repitiendo esta secuencia de multiplicadores tantas veces como sea necesario (1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, ...), y suma los productos (1 × 1  +  7 × 3  +  3 × 2 =  1  +  21  +  6  =  28). El número original es divisible por 7 si y solo si el número obtenido mediante este procedimiento es divisible por 7 (por lo tanto, 371 es divisible por 7 ya que 28 lo es). ^{[ 12 ]}

Este método se puede simplificar eliminando la necesidad de multiplicar. Con esta simplificación, bastaría con memorizar la secuencia anterior (132645...) y sumar y restar, pero siempre trabajando con números de una sola cifra.

La simplificación es la siguiente:

• Tomemos como ejemplo el número 371.
• Cambia todas las apariciones de 7 , 8 o 9 por 0 , 1 y 2 , respectivamente. En este ejemplo, obtenemos: 301. Este segundo paso se puede omitir, excepto para el dígito de la izquierda, pero seguirlo puede facilitar los cálculos posteriores.
• Ahora convierte el primer dígito (3) en el siguiente dígito de la secuencia 13264513... En nuestro ejemplo, 3 se convierte en 2 .
• Suma el resultado del paso anterior (2) al segundo dígito del número y sustituye el resultado por ambos dígitos, dejando todos los dígitos restantes sin modificar: 2  +  0  =  2. Así que 30 1 se convierte en 2 1 .
• Repite el procedimiento hasta que tengas un múltiplo reconocible de 7, o para asegurarte, un número entre 0 y 6. Entonces, comenzando desde 21 (que es un múltiplo reconocible de 7), toma el primer dígito (2) y conviértelo en lo siguiente en la secuencia anterior: 2 se convierte en 6. Luego suma esto al segundo dígito: 6  +  1  = 7 . 
• Si en algún momento el primer dígito es 8 o 9, estos se convierten en 1 o 2, respectivamente. Pero si es un 7, debe convertirse en 0, solo si no le siguen otros dígitos. De lo contrario, simplemente debe eliminarse. Esto se debe a que ese 7 se habría convertido en 0, y los números con al menos dos dígitos antes del punto decimal no comienzan con 0, que es inútil. De acuerdo con esto, nuestro 7 se convierte en 0 . 

Si mediante este procedimiento obtienes un 0 o cualquier múltiplo reconocible de 7, entonces el número original es un múltiplo de 7. Si obtienes cualquier número del 1 al 6 , eso indicará cuánto debes restar del número original para obtener un múltiplo de  7. En otras palabras, hallarás el resto de la división del número entre 7. Por ejemplo, toma el número 186 : 

• Primero, cambia el 8 por un 1: 116 .
• Ahora, cambia el 1 por el siguiente dígito en la secuencia (3), súmalo al segundo dígito y escribe el resultado en lugar de ambos: 3  +  1  = 4. Así que 11 6 se convierte ahora en 4 6 . 
• Repite el procedimiento, ya que el número es mayor que 7. Ahora, 4 se convierte en 5, que debe sumarse a 6. Eso es 11 . 
• Repita el procedimiento una vez más: 1 se convierte en 3, que se suma al segundo dígito (1): 3  +  1  = 4 . 

Ahora tenemos un número menor que 7, y este número (4) es el resto de la división de 186/7. Por lo tanto, 186  menos  4, que es 182, debe ser un múltiplo de  7.

Nota: Esto funciona porque si tenemos a+b=c y b es múltiplo de cualquier número n , entonces a y c necesariamente tendrán el mismo resto al dividirse por n . En otras palabras, en 2  +  7  =  9, 7 es divisible por  7. Por lo tanto, 2 y 9 deben tener el mismo resto al dividirse por 7. El resto es  2.

Por lo tanto, si un número n es múltiplo de 7 (es decir, el resto de n /7 es  0), entonces sumar (o restar) múltiplos de 7 no puede cambiar esa propiedad.

Como se explicó anteriormente para la mayoría de las reglas de divisibilidad, este procedimiento consiste simplemente en restar múltiplos de 7, poco a poco, del número original hasta llegar a un número lo suficientemente pequeño como para recordar si es múltiplo de 7. Si 1 se convierte en 3 en la siguiente posición decimal, es lo mismo que convertir 10 × 10ⁿ ^en 3 × 10ⁿ ^. Y eso es, de hecho, lo mismo que restar 7 × 10ⁿ ⁽ claramente un múltiplo de 7) de 10 × ^10ⁿ .

De manera similar, cuando conviertes un 3 en un 2 en la siguiente posición decimal, estás convirtiendo 30×10 ⁿ en 2×10 ⁿ , lo cual es lo mismo que restar 30×10 ⁿ −28×10 ⁿ , y esto nuevamente es restar un múltiplo de 7. La misma razón se aplica a todas las conversiones restantes:

• 20×10 ⁿ  −  6×10 ⁿ = 14 ×10 ⁿ
• 60×10 ⁿ  −  4×10 ⁿ = 56 ×10 ⁿ
• 40×10 ⁿ  −  5×10 ⁿ = 35 ×10 ⁿ
• 50×10 ⁿ  −  1×10 ⁿ = 49 ×10 ⁿ

Primer ejemplo del método: 1050 → 105 − 0 = 105 → 10 − 10 = 0. RESPUESTA: 1050 es divisible por 7.

Segundo método: ejemplo 1050 → 0501 (inverso) → 0 × 1 + 5 × 3 + 0 × 2 + 1 × 6 = 0 + 15 + 0 + 6 = 21 (multiplicar y sumar). RESPUESTA: 1050 es divisible por 7.

Método de Pohlman-Mass para determinar la divisibilidad por 7. Este método ofrece una solución rápida para determinar si la mayoría de los números enteros son divisibles por siete en tres pasos o menos. Puede resultar útil en competiciones de matemáticas como MATHCOUNTS, donde el tiempo es un factor crucial para encontrar la solución sin calculadora en la ronda rápida.

Paso A: Si el número entero es 1000 o menor, resta el doble del último dígito al número formado por los dígitos restantes. Si el resultado es un múltiplo de siete, entonces el número original también lo es (y viceversa). Por ejemplo:

112 -> 11 − (2×2) = 11 − 4 = 7 SÍ 98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 SÍ 634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO

Como 1001 es divisible por siete, se desarrolla un patrón interesante para conjuntos repetitivos de 1, 2 o 3 dígitos que forman números de 6 dígitos (se permiten ceros iniciales), ya que todos esos números son divisibles por siete. Por ejemplo:

001 001 = 1,001 / 7 = 143 010 010 = 10,010 / 7 = 1,430 011 011 = 11,011 / 7 = 1,573 100 100 = 100,100 / 7 = 14,300 101 101 = 101,101 / 7 = 14,443 110 110 = 110,110 / 7 = 15,730

01 01 01 = 10.101 / 7 = 1.443 10 10 10 = 101.010 / 7 = 14.430

111.111 / 7 = 15.873 222.222 / 7 = 31.746 999.999 / 7 = 142.857

576.576 / 7 = 82.368

En todos los ejemplos anteriores, al restar los tres primeros dígitos de los tres últimos se obtiene un múltiplo de siete. Cabe destacar que se permiten ceros iniciales para formar un patrón de seis dígitos.

Este fenómeno constituye la base de los pasos B y C.

Paso B: Si el número entero está entre 1001 y un millón, encuentre un patrón repetitivo de 1, 2 o 3 dígitos que forme un número de 6 dígitos cercano al entero (se permiten ceros iniciales, lo que puede ayudarle a visualizar el patrón). Si la diferencia positiva es menor que 1000, aplique el Paso A. Esto se puede hacer restando los tres primeros dígitos de los tres últimos. Por ejemplo:

341,355 − 341,341 = 14 -> 1 − (4×2) = 1 − 8 = −7 SÍ 67.326 − 067.067 = 259 -> 25 − (9×2) = 25 − 18 = 7 SÍ

El hecho de que 999.999 sea múltiplo de 7 permite determinar la divisibilidad de números enteros mayores que un millón, reduciéndolos a seis dígitos mediante el paso B. Esto se logra fácilmente sumando los dígitos a la izquierda de los seis primeros a los seis últimos y siguiendo el paso A.

Paso C: Si el número entero es mayor que un millón, reste el múltiplo más cercano de 999.999 y luego aplique el Paso B. Para números aún mayores, utilice conjuntos más grandes, como 12 dígitos (999.999.999.999), etc. Luego, divida el número entero en un número más pequeño que pueda resolverse utilizando el Paso B. Por ejemplo:

22.862.420 − (999.999 × 22) = 22.862.420 − 21.999.978 -> 862.420 + 22 = 862.442 862,442 -> 862 − 442 (Paso B) = 420 -> 42 − (0×2) (Paso A) = 42 SÍ

Esto permite sumar y restar conjuntos alternos de tres dígitos para determinar la divisibilidad por siete. Comprender estos patrones permite calcular rápidamente la divisibilidad por siete, como se muestra en los siguientes ejemplos:

Método de Pohlman-Mass para determinar la divisibilidad por 7, ejemplos:

¿Es 98 divisible por siete? 98 -> 9 − (8×2) = 9 − 16 = −7 SÍ (Paso A)

¿Es 634 divisible por siete? 634 -> 63 − (4×2) = 63 − 8 = 55 NO (Paso A)

¿Es 355.341 divisible por siete? 355.341 − 341.341 = 14.000 (Paso B) -> 014 − 000 (Paso B) -> 14 = 1 − (4×2) (Paso A) = 1 − 8 = −7 SÍ

¿Es 42.341.530 divisible por siete? 42.341.530 -> 341.530 + 42 = 341.572 (Paso C) 341.572 − 341.341 = 231 (Paso B) 231 -> 23 − (1×2) = 23 − 2 = 21 SÍ (Paso A)

Utilizando sumas y restas rápidas y alternadas: 42,341,530 -> 530 − 341 + 42 = 189 + 42 = 231 -> 23 − (1×2) = 21 SÍ

Método de multiplicación por 3 para determinar la divisibilidad por 7, ejemplos:

¿Es 98 divisible por siete? 98 -> 9 resto 2 -> 2×3 + 8 = 14 SÍ

¿Es 634 divisible por siete? 634 -> 6×3 + 3 = 21 -> resto 0 -> 0×3 + 4 = 4 NO

¿Es 355.341 divisible por siete? 3 × 3 + 5 = 14 -> resto 0 -> 0 × 3 + 5 = 5 -> 5 × 3 + 3 = 18 -> resto 4 -> 4 × 3 + 4 = 16 -> resto 2 -> 2 × 3 + 1 = 7 SÍ

Calcula el resto de 1036125837 dividido entre 7. 1×3 + 0 = 3 3×3 + 3 = 12 resto 5 5×3 + 6 = 21 resto 0 0×3 + 1 = 1 1×3 + 2 = 5 5×3 + 5 = 20 resto 6 6×3 + 8 = 26 resto 5 5 × 3 + 3 = 18 resto 4 4×3 + 7 = 19 resto 5 La respuesta es 5

Hallar el resto de un número al dividirlo por 7.

7 − (1, 3, 2, −1, −3, −2, el ciclo se repite para los siguientes seis dígitos) Periodo: 6 dígitos. Números recurrentes: 1, 3, 2, −1, −3, −2 Secuencia de magnitud mínima (1, 3, 2, 6, 4, 5, el ciclo se repite para los siguientes seis dígitos) Periodo: 6 dígitos. Números recurrentes: 1, 3, 2, 6, 4, 5 Secuencia positiva

Multiplica el dígito de la derecha por el de la izquierda en la secuencia, luego el segundo dígito de la derecha por el segundo de la izquierda, y así sucesivamente. A continuación, calcula la suma de todos los valores y obtén el módulo de 7. Ejemplo: ¿Cuál es el resto de la división de 1036125837 entre 7?

Multiplicación del dígito de la derecha = 1 × 7 = 7

Multiplicación del segundo dígito de la derecha = 3 × 3 = 9

Tercer dígito de la derecha = 8 × 2 = 16

Cuarto dígito de la derecha = 5 × −1 = −5

Quinto dígito de la derecha = 2 × −3 = −6

Sexto dígito de la derecha = 1 × −2 = −2

Séptimo dígito de la derecha = 6 × 1 = 6

Octavo dígito de la derecha = 3 × 3 = 9

Noveno dígito de la derecha = 0

Décimo dígito de la derecha = 1 × −1 = −1

Suma = 33

33 módulo 7 = 5

Resto = 5

Método de pares de dígitos para determinar la divisibilidad por 7.

Este método utiliza el patrón 1 , -3 , 2 en los pares de dígitos . Es decir, la divisibilidad de cualquier número por siete se puede comprobar separando primero el número en pares de dígitos y luego aplicando el algoritmo a tres pares de dígitos (seis dígitos). Cuando el número tiene menos de seis dígitos, se añaden ceros a la derecha hasta completar seis dígitos. Cuando el número tiene más de seis dígitos, se repite el ciclo con el siguiente grupo de seis dígitos y se suman los resultados. Se repite el algoritmo hasta obtener un número pequeño. El número original es divisible por siete si y solo si el número obtenido mediante este algoritmo también lo es. Este método es especialmente adecuado para números grandes.

Ejemplo 1: El número a probar es 157514. Primero separamos el número en tres pares de dígitos: 15, 75 y 14. Luego aplicamos el algoritmo: 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 14 = 182 Como el resultado 182 tiene menos de seis dígitos, agregamos ceros al lado derecho hasta que tenga seis dígitos. Luego aplicamos nuestro algoritmo nuevamente: 1 × 18 − 3 × 20 + 2 × 0 = −42 El resultado −42 es divisible por siete, por lo tanto, el número original 157514 es divisible por siete.

Ejemplo 2: El número a probar es 15751537186. ( 1 × 15 − 3 × 75 + 2 × 15) + ( 1 × 37 − 3 × 18 + 2 × 60) = −180 + 103 = −77 El resultado −77 es divisible por siete, por lo tanto, el número original 15751537186 ​​es divisible por siete.

Otro método de divisibilidad por 7 basado en pares de dígitos

Método

Este es un método no recursivo para hallar el resto que queda al dividir un número por 7:

1. Separe el número en pares de dígitos comenzando por las unidades. Si es necesario, anteponga un 0 al número para completar el último par.
2. Calcula los restos que quedan al dividir cada par de dígitos entre 7.
3. Multiplica los restos por el multiplicador apropiado de la secuencia 1, 2, 4, 1, 2, 4, ...  : el resto del par de dígitos formado por la posición de las unidades y la posición de las decenas debe multiplicarse por 1, las centenas y los millares por 2, las decenas de millar y las centenas de millar por 4, los millones y las decenas de millón nuevamente por 1 y así sucesivamente.
4. Calcula los restos que quedan de cada producto al dividirlo por 7.
5. Añade estos restos.
6. El resto de la suma cuando se divide por 7 es el resto del número dado cuando se divide por 7.

Por ejemplo:

El número 194.536 deja un resto de 6 al dividirlo por 7.

El número 510.517.813 deja un resto de 1 al dividirlo por 7.

Prueba de la corrección del método

El método se basa en la observación de que 100 deja un resto de 2 al dividirlo entre 7. Y como estamos dividiendo el número en pares de dígitos, esencialmente tenemos potencias de 100.

1 mod 7 = 1

100 mod 7 = 2

10.000 mod 7 = 2^2 = 4

1.000.000 mod 7 = 2^3 = 8; 8 mod 7 = 1

100.000.000 mod 7 = 2^4 = 16; 16 mod 7 = 2

10.000.000.000 mod 7 = 2^5 = 32; 32 mod 7 = 4

Etcétera.

La corrección del método se establece entonces mediante la siguiente cadena de igualdades:

Sea N el número dado${\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}}$.

${\displaystyle {\overline {a_{2n}a_{2n-1}...a_{2}a_{1}}}\mod 7}$

${\displaystyle [\sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1})\times 10^{2k-2}]{\bmod {7}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}\times 10^{2k-2}){\bmod {7}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{2k}a_{2k-1}{\bmod {7}})\times (10^{2k-2}{\bmod {7}})}$

Otro método de agrupación de dígitos para determinar la divisibilidad por 7.

Método

Este método determina si un número entero es divisible por 7 agrupando los dígitos en conjuntos de tres:

Comenzando por la derecha (posición de las unidades), divide el número en grupos de tres dígitos. Si es necesario, añade ceros al principio para completar el grupo de la izquierda.

Comenzando por el grupo de la derecha, sume y reste alternativamente los grupos que se mueven hacia la izquierda. Es decir, reste el segundo grupo del primero, sume el tercero, reste el cuarto, y así sucesivamente. Calcule la suma resultante. Si el resultado es divisible por 7, entonces el número original es divisible por 7; de lo contrario, no lo es.

Ejemplo

Para probar el número 10.517.815:

Agrupa los dígitos:

010 | 517 | 815

Aplicar operaciones alternas:

815 − 517 + 010 = 308

Dado que 308 es divisible por 7, el número original también es divisible por 7.

Prueba de corrección

Este método se basa en la aritmética modular. Observe que:

1000 ≡ −1 (mod 7)

ya que 1000 deja un resto de 6 cuando se divide por 7, y 6 ≡ −1 (mod 7).

Cualquier número entero puede expresarse como una suma de múltiplos de potencias de 1000:

N = a ₀ + a ₁ ·1000 + a ₂ ·1000 ² + a ₃ ·1000 ³ + ...

Reducción módulo 7:

N ≡ a ₀ − a ₁ + a ₂ − a ₃ + ... (mod 7)

Así, la suma alternada de los grupos de tres dígitos es congruente con el número original módulo 7. Por lo tanto, el número original es divisible por 7 si y solo si esta suma alternada es divisible por 7.

Método

Para comprobar la divisibilidad por 11, considere la suma alternada de los dígitos. Por ejemplo, con 907.071:

${\displaystyle 9-0+7-0+7-1=22=2\times 11,}$

por lo tanto, 907.071 es divisible por 11.

Podemos empezar con${\displaystyle -}$o${\displaystyle +}$ya que multiplicar el todo por${\displaystyle -1}$No cambia nada.

Prueba de la corrección del método

Considerando que${\displaystyle 10\equiv -1{\bmod {1}}1}$, podemos escribir para cualquier número entero:

${\displaystyle {\overline {a_{n}a_{n-1}...a_{1}a_{0}}}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}10^{i}\equiv \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}a_{i}{\bmod {1}}1.}$

Prueba del resto 13 (1, −3, −4, −1, 3, 4, el ciclo continúa). Si no te sientes cómodo con los números negativos, usa esta secuencia: (1, 10, 9, 12, 3, 4).

Multiplica el dígito más a la derecha del número por el dígito más a la izquierda de la secuencia mostrada arriba, y el segundo dígito más a la derecha por el segundo dígito más a la izquierda de la secuencia. El ciclo continúa.

Ejemplo: ¿Cuál es el resto cuando 321 se divide entre 13? Usando la primera secuencia, Respuesta: 1 × 1 + 2 × −3 + 3 × −4 = −17 Resto = −17 mod 13 = 9

Ejemplo: ¿Cuál es el resto cuando 1234567 se divide entre 13? Usando la segunda secuencia, Respuesta: 7 × 1 + 6 × 10 + 5 × 9 + 4 × 12 + 3 × 3 + 2 × 4 + 1 × 1 = 178 mod 13 = 9 Resto = 9

Se puede derivar un método recursivo utilizando el hecho de que${\displaystyle 10=-3{\bmod {1}}3}$y eso${\displaystyle 10^{-1}=4{\bmod {1}}3}$Esto implica que un número es divisible por 13 si y solo si al eliminar el primer dígito y restarle tres veces ese dígito al nuevo primer dígito se obtiene un número divisible por 13. También tenemos la regla de que 10x + y es divisible si y solo si x + 4y es divisible por 13. Por ejemplo, para comprobar la divisibilidad de 1761 por 13, podemos reducirlo a la divisibilidad de 461 según la primera regla. Usando la segunda regla, esto se reduce a la divisibilidad de 50, y al hacer lo mismo se obtiene 5. Por lo tanto, 1761 no es divisible por 13.

Probar 871 de esta manera lo reduce a la divisibilidad de 91 usando la segunda regla, y luego a 13 usando esa regla nuevamente, por lo que vemos que 871 es divisible por 13.

Un número es divisible por un divisor dado si es divisible por la mayor potencia de cada uno de sus factores primos . Por ejemplo, para determinar la divisibilidad por 36, compruebe la divisibilidad por 4 y por 9. ^{[ 6 ]} Tenga en cuenta que comprobar 3 y 12, o 2 y 18, no sería suficiente. Una tabla de factores primos puede resultar útil.

Un divisor compuesto también puede tener una regla formulada mediante el mismo procedimiento que para un divisor primo, como se muestra a continuación, con la salvedad de que las manipulaciones involucradas no deben introducir ningún factor presente en el divisor. Por ejemplo, no se puede formular una regla para 14 que implique multiplicar la ecuación por 7. Esto no representa un problema para los divisores primos, ya que no tienen factores menores.

Para comprobar si un número es divisible por una potencia de 2 o una potencia de 5 (2ⁿ ^o 5ⁿ ^, donde n es un número entero positivo), basta con observar los últimos n dígitos de ese número.

Para comprobar la divisibilidad por cualquier número expresado como producto de factores primos.${\displaystyle p_{1}^{n}p_{2}^{m}p_{3}^{q}}$Podemos comprobar por separado la divisibilidad por cada número primo elevado a su potencia correspondiente. Por ejemplo, comprobar la divisibilidad por 24 (24 = 8 × 3 = 2³ ^× 3) es equivalente a comprobar la divisibilidad por 8 (2³ × ³ ) y por 3 simultáneamente; por lo tanto, solo necesitamos demostrar la divisibilidad por 8 y por 3 para probar la divisibilidad por 24.

El objetivo es encontrar el inverso de 10 módulo el primo en cuestión (no funciona para 2 o 5) y usarlo como multiplicador para que la divisibilidad del número original por ese primo dependa de la divisibilidad del nuevo número (generalmente menor) por el mismo primo. Usando 31 como ejemplo, dado que 10 × (−3) = −30 = 1 mod 31, obtenemos la regla para usar y  −  3 x en la tabla a continuación. De igual manera, dado que 10 × (28) = 280 = 1 mod 31 también, obtenemos una regla complementaria y  +  28 x del mismo tipo; nuestra elección de suma o resta viene dictada por la conveniencia aritmética del valor menor. De hecho, esta regla para divisores primos distintos de 2 y 5 es en realidad una regla de divisibilidad por cualquier entero coprimo con 10. Por eso, la última condición de divisibilidad para cualquier número coprimo con 10 tiene la misma forma (sumar o restar algún múltiplo del último dígito al resto del número).

Para comprobar la divisibilidad por D , donde D termina en 1, 3, 7 o 9, se puede utilizar el siguiente método. ^{[ 13 ]} Encuentra cualquier múltiplo de D que termine en 9. (Si D termina respectivamente en 1, 3, 7 o 9, entonces multiplica por 9, 3, 7 o 1.) Luego suma 1 y divide por 10, denotando el resultado como m . Entonces un número N = 10 t + q es divisible por D si y solo si mq + t es divisible por D . Si el número es demasiado grande, también puedes dividirlo en varias cadenas con e dígitos cada una, que satisfagan o bien 10 ^e = 1 o bien 10 ^e = −1 (mod D ). La suma (o suma alternada) de los números tiene la misma divisibilidad que el original.

Por ejemplo, para determinar si 913 = 10 × 91 + 3 es divisible por 11, encontramos que m = (11 × 9 + 1) ÷ 10 = 10. Entonces mq + t = 10 × 3 + 91 = 121; esto es divisible por 11 (con cociente 11), por lo que 913 también es divisible por 11. Como otro ejemplo, para determinar si 689 = 10 × 68 + 9 es divisible por 53, encontramos que m = (53 × 3 + 1) ÷ 10 = 16. Entonces mq + t = 16 × 9 + 68 = 212, que es divisible por 53 (con cociente 4); por lo que 689 también es divisible por 53.

Alternativamente, cualquier número Q = 10 c + d es divisible por n = 10 a + b , de tal manera que mcd( n , 2, 5) = 1, si c + D ( n ) d = An para algún entero A , donde $${\displaystyle D(n)\equiv {\begin{cases}9a+1&{\text{si }}n=10a+1,\\3a+1&{\text{si }}n=10a+3,\\7a+5&{\text{si }}n=10a+7,\\a+1&{\text{si }}n=10a+9.\end{cases}}}$$

Los primeros términos de la secuencia, generados por D ( n ), son 1, 1, 5, 1, 10, 4, 12, 2,  ... (secuencia A333448 en el OEIS ) .

La forma por partes de D ( n ) y la secuencia generada por ella fueron publicadas por primera vez por el matemático búlgaro Ivan Stoykov en marzo de 2020.

Para D en base b , donde existe algún${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, y${\displaystyle d|b}$de tal manera que${\displaystyle D=\left({\frac {b}{d}}\right)^{n}}$A continuación se presenta una prueba para verificar si algún número u es divisible por D. Considere u' igual a u truncado a los n dígitos más bajos en base b . La divisibilidad de u por D es la misma que la divisibilidad de u' por D. Multiplique u' por${\displaystyle d^{n}}$Si el número de ceros finales en el producto es mayor o igual que n , entonces u es divisible por D. Truncar u no es estrictamente necesario, pero generalmente es más rápido.

Muchas de las reglas más sencillas se pueden obtener mediante manipulación algebraica, creando binomios y reorganizándolos. Al escribir un número como la suma de cada dígito multiplicado por una potencia de 10, se puede manipular individualmente la potencia de cada dígito.

Esta sección ilustrará el método básico; todas las reglas se pueden derivar siguiendo el mismo procedimiento. Lo siguiente requiere conocimientos básicos de aritmética modular ; para la divisibilidad distinta de 2 y 5, las demostraciones se basan en el hecho fundamental de que 10 mod m es invertible si 10 y m son primos entre sí.