Problema de distorsión

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas, el problema de la distorsión consiste en determinar cuánto se puede distorsionar la esfera unitaria en un espacio de Banach dado utilizando una norma equivalente. Específicamente, un espacio de Banach X se denomina λ-distorsionable si existe una norma equivalente | x | en X tal que, para todos los subespacios de dimensión infinita Y en X ,

${\displaystyle \sup _{y_{1},y_{2}\in Y,\|y_{i}\|=1}{\frac {|y_{1}|}{|y_{2}|}}\geq \lambda }$

(véase distorsión (matemáticas) ). Nótese que todo espacio de Banach es trivialmente 1-distorsionable. Un espacio de Banach se denomina distorsionable si es λ-distorsionable para algún λ  >  1 y se denomina arbitrariamente distorsionable si es λ-distorsionable para cualquier λ. La distorsionabilidad surgió por primera vez como una propiedad importante de los espacios de Banach en la década de 1960, donde fue estudiada por James (1964) y Milman (1971) .

James demostró que c ₀ y ℓ ¹ no son distorsionables. Milman demostró que si X es un espacio de Banach que no contiene una copia isomorfa de c ₀ o ℓ ^p para algún 1 ≤ p < ∞ (véase espacio de sucesiones ), entonces algún subespacio de dimensión infinita de X es distorsionable. Por lo tanto, el problema de la distorsión ahora interesa principalmente en los espacios ℓ ^p , todos los cuales son separables y uniformemente convexos, para 1 < p < ∞ .

En espacios convexos separables y uniformes, la distorsionabilidad se ve fácilmente como equivalente a la pregunta aparentemente más general de si toda función de Lipschitz de valor real ƒ definida en la esfera en X se estabiliza en la esfera de un subespacio de dimensión infinita, es decir, si hay un número real a ∈ R tal que para cada δ > 0 hay un subespacio de dimensión infinita Y de X , tal que |a − ƒ ( y )| < δ, para todo y ∈ Y , con || y || = 1. Pero se deduce del resultado de Odell y Schlumprecht (1994) que en ℓ ¹ hay funciones de Lipschitz que no se estabilizan, aunque este espacio no es distorsionable según James (1964) . En un espacio de Hilbert separable , el problema de la distorsión es equivalente a la pregunta de si existen subconjuntos de la esfera unitaria separados por una distancia positiva y que, sin embargo, intersecan todo subespacio cerrado de dimensión infinita. A diferencia de muchas propiedades de los espacios de Banach, el problema de la distorsión parece ser tan difícil en los espacios de Hilbert como en otros espacios de Banach. En un espacio de Hilbert separable, y para los demás espacios ℓ ^p , 1 < p < ∞, el problema de la distorsión fue resuelto afirmativamente por Odell y Schlumprecht (1994) , quienes demostraron que ℓ ² es arbitrariamente distorsionable, utilizando el primer espacio arbitrariamente distorsionable conocido construido por Schlumprecht (1991) .        

• Espacio Tsirelson
• Espacio Banach