Disphenocingulo

En geometría , el disfenocínculo es un sólido de Johnson con 20 triángulos equiláteros y 4 cuadrados como caras.

El disfenocínculo recibe su nombre de Johnson (1966) . El prefijo disfeno- se refiere a dos complejos en forma de cuña, cada uno formado por dos lunas adyacentes , una figura de dos triángulos equiláteros en los lados opuestos de un cuadrado . El sufijo -cínculo , literalmente 'cinturón', se refiere a una banda de 12 triángulos que une las dos cuñas. ^{[ 1 ]} El poliedro resultante tiene 20 triángulos equiláteros y 4 cuadrados, formando 24 caras. ^{[ 2 ]} Todas las caras son regulares , lo que clasifica al disfenocínculo como un sólido de Johnson , un poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares , catalogado como el 90.º sólido de Johnson.${\displaystyle J_{90}}$. ^{[ 3 ]} . Es un poliedro elemental , lo que significa que no puede separarse mediante un plano en dos pequeños poliedros de caras regulares. ^{[ 4 ]}

El área de superficie de un disphenocingulum con longitud de borde${\displaystyle a}$se puede determinar sumando todas sus caras, el área de 20 triángulos equiláteros y 4 cuadrados.${\displaystyle (4+5{\sqrt {3}})a^{2}\approx 12.6603a^{2}}$y su volumen es${\displaystyle 3.7776a^{3}}$. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle a\approx 0.76713}$sea ​​la segunda raíz positiva más pequeña del polinomio$${\displaystyle {\begin{aligned}&256x^{12}-512x^{11}-1664x^{10}+3712x^{9}+1552x^{8}-6592x^{7}\\&\quad {}+1248x^{6}+4352x^{5}-2024x^{4}-944x^{3}+672x^{2}-24x-23\end{aligned}}}$$ y${\displaystyle h={\sqrt {2+8a-8a^{2}}}}$y${\displaystyle c={\sqrt {1-a^{2}}}}$. Entonces, las coordenadas cartesianas de un disfenocíngulo con longitud de arista 2 vienen dadas por la unión de las órbitas de los puntos $${\displaystyle \left(1,2a,{\frac {h}{2}}\right),\ \left(1,0,2c+{\frac {h}{2}}\right),\ \left(1+{\frac {\sqrt {3-4a^{2}}}{c}},0,2c-{\frac {1}{c}}+{\frac {h}{2}}\right)}$$ bajo la acción del grupo generado por reflexiones sobre el plano xz y el plano yz. ^{[ 5 ]}

• Weisstein, Eric W. , " Disphenocingulum " (" Johnson solid ") en MathWorld .