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Relación de dispersión

En un prisma, la dispersión provoca que los diferentes colores se refracten en ángulos diferentes, dividiendo la luz blanca en un arcoíris de colores. En las ciencias físicas y ...

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En un prisma, la dispersión provoca que los diferentes colores se refracten en ángulos diferentes, dividiendo la luz blanca en un arcoíris de colores.

En las ciencias físicas y la ingeniería eléctrica , las relaciones de dispersión describen el efecto de la dispersión en las propiedades de las ondas en un medio. Una relación de dispersión relaciona la longitud de onda o el número de onda con su frecuencia . Conociendo la relación de dispersión, se puede calcular la velocidad de fase y la velocidad de grupo , dependientes de la frecuencia, de cada componente sinusoidal de una onda en el medio, en función de la frecuencia. Además de las relaciones de dispersión que dependen de la geometría y del material, las relaciones generales de Kramers-Kronig describen la dependencia de la frecuencia en la propagación y atenuación de las ondas .

La dispersión puede deberse a condiciones de contorno geométricas ( guías de onda , aguas poco profundas) o a la interacción de las ondas con el medio transmisor. Las partículas elementales , consideradas como ondas de materia , presentan una relación de dispersión no trivial, incluso en ausencia de restricciones geométricas y otros medios.

En presencia de dispersión, una onda no se propaga con una forma de onda invariable, dando lugar a una velocidad de fase y una velocidad de grupo distintas que dependen de la frecuencia .

Dispersión

La dispersión ocurre cuando las ondas sinusoidales de diferentes longitudes de onda tienen diferentes velocidades de propagación, de modo que un paquete de ondas de longitudes de onda mixtas tiende a extenderse en el espacio. La velocidad de una onda plana,v{\displaystyle v}es una función de la longitud de ondaλ{\displaystyle \lambda }:

v=v(λ).{\displaystyle v=v(\lambda).}

La velocidad, la longitud de onda y la frecuencia, f , de la onda están relacionadas por la identidad

v(λ)=λ F(λ).{\displaystyle v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda ).}

La funciónF(λ){\displaystyle f(\lambda )}expresa la relación de dispersión del medio dado. Las relaciones de dispersión se expresan más comúnmente en términos de la frecuencia angular.ω=2πF{\displaystyle \omega =2\pi f}y número de ondak=2π/λ{\displaystyle k=2\pi /\lambda }Reescribiendo la relación anterior en estas variables se obtiene

ω(k)=v(k)⋅k.{\displaystyle \omega (k)=v(k)\cdot k.}

donde ahora vemos f como una función de k . El uso de ω ( k ) para describir la relación de dispersión se ha convertido en estándar porque tanto la velocidad de fase ω / k como la velocidad de grupo dω / dk tienen representaciones convenientes a través de esta función.

Las ondas planas que se están considerando pueden describirse mediante

A(incógnita,t)=A0mi2πiincógnita−vtλ=A0mii(kincógnita−ωt),{\displaystyle A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)},}

dónde

  • A es la amplitud de la onda,
  • A 0 = A (0, 0),
  • x es una posición a lo largo de la dirección de propagación de la onda, y
  • t es el instante en el que se describe la onda.

Ondas planas en el vacío

Las ondas planas en el vacío son el caso más simple de propagación de ondas: no hay restricciones geométricas ni interacción con un medio transmisor.

Ondas electromagnéticas en el vacío

Para las ondas electromagnéticas en el vacío, la frecuencia angular es proporcional al número de onda: ω=dok.{\displaystyle \omega =ck.}

Esta es una relación de dispersión lineal , en cuyo caso se dice que las ondas no son dispersivas . [ 1 ] Es decir, la velocidad de fase y la velocidad de grupo son iguales: v=ωk=dωdk=do,{\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c,} y por lo tanto ambas son iguales a la velocidad de la luz en el vacío, que es independiente de la frecuencia.

Relaciones de dispersión de De Broglie

Para las ondas de materia de De Broglie, la relación de dispersión de frecuencia no es lineal: ω(k)≈metro0do2ℏ+ℏk22metro0.{\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.} La ecuación indica la frecuencia de la onda de materia.ω{\displaystyle \omega }en el vacío varía con el número de onda (k=2π/λ{\displaystyle k=2\pi /\lambda }) en la aproximación no relativista. La variación tiene dos partes: una parte constante debida a la frecuencia de De Broglie de la masa en reposo (ℏω0=metro0do2{\displaystyle \hbar \omega _{0}=m_{0}c^{2}}) y una parte cuadrática debida a la energía cinética.

Derivación

Si bien las aplicaciones de las ondas de materia ocurren a velocidad no relativista, de Broglie aplicó la relatividad especial para derivar sus ondas. Partiendo de la relación energía-momento relativista : mi2=(pagdo)2+(metro0do2)2{\displaystyle E^{2}=(p{\textrm {c}})^{2}+\left(m_{0}{\textrm {c}}^{2}\right)^{2}\,} utilizar las relaciones de De Broglie para la energía y el momento de las ondas de materia , mi=ℏω,pag=ℏk,{\displaystyle E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,} donde ω es la frecuencia angular y k es el vector de onda con magnitud | k | = k , igual al número de onda . Dividir porℏ{\displaystyle \hbar }y tomamos la raíz cuadrada. Esto nos da la relación de dispersión de frecuencia relativista : ω(k)=k2do2+(metro0do2ℏ)2.{\displaystyle \omega (k)={\sqrt {k^{2}c^{2}+\left({\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}\right)^{2}}}\,.}

El trabajo práctico con ondas de materia se realiza a velocidad no relativista. Para aproximarnos, extraemos la frecuencia que depende de la masa en reposo: ω=metro0do2ℏ1+(ℏkmetro0do)2.{\displaystyle \omega ={\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}{\sqrt {1+\left({\frac {\hbar k}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.}

Entonces vemos que elℏ/do{\displaystyle \hbar /c}El factor es muy pequeño, por lo quek{\displaystyle k}no demasiado grande, nos expandimos1+incógnita2≈1+incógnita2/2,{\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}\approx 1+x^{2}/2,}y multiplicar: ω(k)≈metro0do2ℏ+ℏk22metro0.{\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m_{0}}}\,.} Esto nos da la aproximación no relativista que se mencionó anteriormente. Si partimos de la ecuación de Schrödinger no relativista , terminaremos sin el primer término, el de masa en reposo.

Frecuencia frente a número de onda

Como se mencionó anteriormente, cuando el enfoque en un medio se centra en la refracción en lugar de la absorción —es decir, en la parte real del índice de refracción— , es común referirse a la dependencia funcional de la frecuencia angular con respecto al número de onda como la relación de dispersión . Para las partículas, esto se traduce en el conocimiento de la energía en función del momento.

Ondas y óptica

El nombre "relación de dispersión" proviene originalmente de la óptica . Es posible hacer que la velocidad efectiva de la luz dependa de la longitud de onda haciendo que la luz pase a través de un material que tiene un índice de refracción no constante , o utilizando luz en un medio no uniforme como una guía de ondas . En este caso, la forma de onda se extenderá en el tiempo, de modo que un pulso estrecho se convertirá en un pulso extendido, es decir, se dispersará. En estos materiales,∂ω∂k{\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}se conoce como velocidad de grupo [ 2 ] y corresponde a la velocidad a la que se propaga el pico del pulso, un valor diferente de la velocidad de fase . [ 3 ]

olas de aguas profundas

Dispersión de frecuencia de ondas gravitatorias superficiales en aguas profundas. El cuadrado rojo ■ se mueve con la velocidad de fase, y los puntos verdes ● se propagan con la velocidad de grupo. En este caso de aguas profundas, la velocidad de fase es el doble de la velocidad de grupo. El cuadrado rojo ■ recorre la figura en el tiempo que tarda el punto verde ● en recorrer la mitad.

La relación de dispersión para las olas de aguas profundas se suele escribir como

ω=gramok,{\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}},}

donde g es la aceleración debida a la gravedad. Aguas profundas, en este sentido, se suelen denominar como el caso en que la profundidad del agua es mayor que la mitad de la longitud de onda. [ 4 ] En este caso, la velocidad de fase es

vpag=ωk=gramok,{\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}},}

y la velocidad de grupo es

vgramo=dωdk=12vpag.{\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}

Ondas en una cuerda

Pulsaciones de dos frecuencias de una onda transversal no dispersiva. Dado que la onda no es dispersiva, las velocidades de fase y de grupo son iguales.

Para una cuerda ideal, la relación de dispersión se puede escribir como

ω=kTμ,{\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}

donde T es la fuerza de tensión en la cuerda y μ es la masa de la cuerda por unidad de longitud. Al igual que en el caso de las ondas electromagnéticas en el vacío, las cuerdas ideales constituyen un medio no dispersivo, es decir, las velocidades de fase y de grupo son iguales e independientes (en primera aproximación) de la frecuencia de vibración.

Para una cuerda no ideal, donde se tiene en cuenta la rigidez, la relación de dispersión se escribe como

ω2=Tμk2+αk4,{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4},}

dóndeα{\displaystyle \alpha }es una constante que depende de la cadena.

Estructura de bandas electrónicas

En el estudio de los sólidos, el estudio de la relación de dispersión de los electrones es de suma importancia. La periodicidad de los cristales implica que, para un momento dado, son posibles muchos niveles de energía y que algunas energías pueden no estar disponibles para ningún momento. El conjunto de todas las energías y momentos posibles se conoce como la estructura de bandas de un material. Las propiedades de la estructura de bandas determinan si el material es un aislante , un semiconductor o un conductor .

fonones

Los fonones son a las ondas sonoras en un sólido lo que los fotones son a la luz: son los cuantos que las transportan. La relación de dispersión de los fonones también es importante y no trivial, ya que está directamente relacionada con las propiedades acústicas y térmicas de un material. Para la mayoría de los sistemas, los fonones se pueden clasificar en dos tipos principales: aquellos cuyas bandas se anulan en el centro de la zona de Brillouin se denominan fonones acústicos , puesto que corresponden al sonido clásico en el límite de longitudes de onda largas. Los otros son fonones ópticos , puesto que pueden ser excitados por radiación electromagnética.

Óptica electrónica

Con electrones de alta energía (por ejemplo, 200 keV, 32 fJ ) en un microscopio electrónico de transmisión , la dependencia energética de las líneas de la zona de Laue de orden superior (HOLZ) en los patrones de difracción de electrones de haz convergente (CBED) permite, en efecto, obtener imágenes directas de secciones transversales de la superficie de dispersión tridimensional de un cristal . [ 5 ] Este efecto dinámico ha encontrado aplicación en la medición precisa de parámetros de red, energía del haz y, más recientemente, para la industria electrónica: deformación de la red.  

Historia

Isaac Newton estudió la refracción en prismas, pero no logró reconocer la dependencia material de la relación de dispersión, descartando el trabajo de otro investigador cuya medición de la dispersión de un prisma no coincidía con la suya propia. [ 6 ]

La dispersión de las olas en el agua fue estudiada por Pierre-Simon Laplace en 1776. [ 7 ]

La universalidad de las relaciones de Kramers-Kronig (1926-27) se hizo evidente con trabajos posteriores sobre la conexión de la relación de dispersión con la causalidad en la teoría de dispersión de todo tipo de ondas y partículas. [ 8 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Ablowitz 2011 , págs. 19–20.
  2. ↑ FA Jenkins y HE White (1957). Fundamentos de óptica . Nueva York: McGraw-Hill. pág . 223. ISBN  0-07-032330-5.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  3. ↑ RA Serway, CJ Moses y CA Moyer (1989). Física moderna . Filadelfia: Saunders. pág. 118. ISBN  0-534-49340-8.
  4. ↑ RG Dean y RA Dalrymple (1991). Mecánica de las olas de agua para ingenieros y científicos . Serie avanzada sobre ingeniería oceánica. Vol. 2. World Scientific, Singapur. ISBN  978-981-02-0420-4.Véanse las páginas 64-66.
  5. ↑ PM Jones, GM Rackham y JW Steeds (1977). "Efectos de la zona de Laue de orden superior en la difracción de electrones y su uso en la determinación de parámetros de red". Proceedings of the Royal Society . A 354 (1677): 197. Bibcode : 1977RSPSA.354..197J . doi : 10.1098/rspa.1977.0064 . S2CID 98158162 . 
  6. ↑ Westfall, Richard S. (1983). Nunca en reposo: Biografía de Isaac Newton ( edición ilustrada y revisada ). Cambridge University. pág. 276. ISBN   9780521274357.
  7. ↑ ADD Craik (2004). "Los orígenes de la teoría de las ondas de agua". Annual Review of Fluid Mechanics . 36 : 1–28 . Bibcode : 2004AnRFM..36....1C . doi : 10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118 .
  8. ↑ John S. Toll (1956). "Causalidad y la relación de dispersión: Fundamentos lógicos". Phys. Rev. 104 ( 6): 1760– 1770. Bibcode : 1956PhRv..104.1760T . doi : 10.1103/PhysRev.104.1760 .

Referencias

  • Ablowitz, Mark J. (8 de septiembre de 2011). Ondas dispersivas no lineales . Cambridge, Reino Unido; Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-01254-7OCLC 714729246​​ 
  • Póster sobre simulaciones CBED para ayudar a visualizar superficies de dispersión, por Andrey Chuvilin y Ute Kaiser.
  • Calculadora de frecuencia angular