Suma disyuntiva

En las matemáticas de los juegos combinatorios , la suma o suma disyuntiva de dos juegos es un juego en el que ambos se juegan en paralelo, permitiendo a cada jugador moverse en solo uno de ellos por turno. El juego de suma finaliza cuando no quedan movimientos en ninguno de los dos juegos paralelos, momento en el que (en el juego normal ) gana el último jugador en moverse. Esta operación puede extenderse a sumas disyuntivas de cualquier número de juegos, jugando también los juegos en paralelo y moviéndose en exactamente uno de ellos por turno. Es la operación fundamental que se utiliza en el teorema de Sprague-Grundy para juegos imparciales y que dio origen al campo de la teoría de juegos combinatorios para juegos partidistas .

Las sumas disyuntivas surgen en juegos que se dividen naturalmente en componentes o regiones que no interactúan entre sí, excepto en que cada jugador, por turno, debe elegir un solo componente para jugar. Ejemplos de estos juegos son Go , Nim , Sprouts , Domineering , el Juego de las Amazonas y los juegos de colorear mapas .

En este tipo de juegos, cada componente puede analizarse por separado para identificar simplificaciones que no afecten su resultado ni el de su suma disyuntiva con otros juegos. Una vez realizado este análisis, los componentes pueden combinarse sumando disyuntivamente los resultados de dos juegos a la vez, creando así un único juego con el mismo resultado que el juego original.

La operación de suma fue formalizada por Conway (1976) . Es una operación conmutativa y asociativa : si se combinan dos juegos, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se combinen, y si se combinan más de dos juegos, el resultado es el mismo independientemente de cómo se agrupen.

La negación − G de un juego G (el juego formado al intercambiar los roles de los dos jugadores) forma un inverso aditivo bajo sumas disyuntivas: el juego G  + − G es un juego cero (ganado por quien va segundo) usando una estrategia de eco simple en la que el segundo jugador copia repetidamente el movimiento del primer jugador en el otro juego. Para cualesquiera dos juegos G y H , el juego H + G + − G tiene el mismo resultado que H mismo (aunque puede tener un conjunto mayor de movimientos disponibles).     

Basándose en estas propiedades, la clase de juegos combinatorios puede considerarse que tiene la estructura de un grupo abeliano , aunque con una clase propia de elementos en lugar de (como es más habitual para los grupos) un conjunto de elementos. Para una subclase importante de los juegos llamada números surrealistas , existe un operador de multiplicación que extiende este grupo a un cuerpo .

Para los juegos de juego de misère imparciales , se puede desarrollar una teoría análoga de sumas, pero con menos de estas propiedades: estos juegos forman un monoide conmutativo con solo un elemento invertible no trivial, llamado estrella ( * ), de orden dos.

• Conway, John Horton (1976), Sobre números y juegos , Academic Press.