Transformación discreta de Chebyshev

En matemáticas aplicadas , la transformada discreta de Chebyshev (abreviada DCT, DChT o DTT) es un análogo de la transformada discreta de Fourier para una función de un intervalo real , que convierte en ambas direcciones entre los valores de la función en un conjunto de nodos de Chebyshev y los coeficientes de una función en la base de polinomios de Chebyshev . Al igual que los polinomios de Chebyshev, recibe su nombre de Pafnuty Chebyshev .

Los dos tipos más comunes de transformadas discretas de Chebyshev utilizan la cuadrícula de ceros de Chebyshev , los ceros de los polinomios de Chebyshev de primera especie.${\displaystyle T_{n}(x)}$y la cuadrícula de extremos de Chebyshev , los extremos de los polinomios de Chebyshev de primera especie, que también son los ceros de los polinomios de Chebyshev de segunda especie.${\displaystyle U_{n}(x)}$Ambas transformaciones dan como resultado coeficientes de polinomios de Chebyshev de primera especie.

Otras transformadas discretas de Chebyshev implican cuadrículas relacionadas y coeficientes de polinomios de Chebyshev de segundo, tercer o cuarto tipo.

La transformada discreta de Chebyshev de${\displaystyle {u(x)}}$en los puntos${\displaystyle {x_{n}}}$está dado por:

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})T_{m}(x_{n}),}$

dónde

${\displaystyle x_{n}=-\cos {\frac {{\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\pi }{N}},}$

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})\cos \left(m\cos ^{-1}(x_{n})\right),}$

con${\displaystyle p_{m}=1}$si y solo si${\displaystyle m=0}$y${\displaystyle p_{m}=2}$de lo contrario.

Utilizando la definición de${\displaystyle x_{n}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{m}&={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})\cos {\frac {m{\bigl (}N+n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\pi }{N}}\\&={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})(-1)^{m}\cos {\frac {m{\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\pi }{N}}.\end{aligned}}}$

La transformada inversa es

${\displaystyle u_{n}=\sum _{m=0}^{N-1}a_{m}T_{m}(x_{n})=\sum _{m=0}^{N-1}a_{m}(-1)^{m}\cos {\frac {m{\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\pi }{N}}.}$

(Esta es la serie de Chebyshev estándar evaluada en la cuadrícula de raíces).

Esta transformada discreta de Chebyshev se puede calcular manipulando los argumentos de entrada de una transformada discreta del coseno , por ejemplo, utilizando el siguiente código de MATLAB :

función a = fct ( f, l ) % x =-cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2));f = f ( fin : - 1 : 1 ,:); A = tamaño ( f ); N = A ( 1 ); si existe ( 'A(3)' , 'var' ) && A ( 3 ) ~= 1 para i = 1 : A ( 3 ) a (:,:, i ) = sqrt ( 2 / N ) * dct ( f (:,:, i )); a ( 1 ,:, i ) = a ( 1 ,:, i ) / sqrt ( 2 ); fin si no a = sqrt ( 2 / N ) * dct ( f (:,:, i )); a ( 1 ,:)= a ( 1 ,:) / sqrt ( 2 ); fin

La función integrada de MATLAB dct(transformada discreta del coseno) se implementa utilizando la transformada rápida de Fourier .

La transformada inversa viene dada por el código MATLAB:

función f = ifct ( a, l ) % x = -cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2)) k = tamaño ( a ); N = k ( 1 );a = idct ( sqrt ( N / 2 ) * [ a ( 1 ,:) * sqrt ( 2 ); a ( 2 : end ,:)]);fin

Esta transformación utiliza la cuadrícula:

${\displaystyle x_{n}=-\cos {\frac {n\pi }{N}}}$

${\displaystyle T_{n}(x_{m})=\cos \left({\frac {mn\pi }{N}}+n\pi \right)=(-1)^{n}\cos {\frac {mn\pi }{N}}}$

Esta cuadrícula extrema es la más utilizada.

En este caso la transformada y su inversa son

${\displaystyle u(x_{n})=u_{n}=\sum _{m=0}^{N}a_{m}T_{m}(x_{n}),}$

${\displaystyle a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}{\biggl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}u_{0}(-1)^{m}+u_{N}{\bigr )}+\sum _{n=1}^{N-1}u_{n}T_{m}(x_{n}){\biggr )},}$

dónde${\displaystyle p_{m}=1}$si y solo si${\displaystyle m=0}$o${\displaystyle m=N}$y${\displaystyle p_{m}=2}$de lo contrario.

Los usos principales de la transformada discreta de Chebyshev son la integración numérica , la interpolación y la diferenciación numérica estable . ^{[ 1 ]} Una implementación que proporciona estas características se encuentra en la biblioteca Boost de C++ . ^{[ 2 ]}

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• Lista de transformadas relacionadas con Fourier