dilución de regresión

El caso en que x es fijo, pero se mide con ruido, se conoce como modelo funcional o relación funcional . ^{[ 2 ]} Se puede corregir utilizando mínimos cuadrados totales ^{[ 3 ]} y modelos de errores en las variables en general.

El caso en que la variable x surge aleatoriamente se conoce como modelo estructural o relación estructural . Por ejemplo, en un estudio médico, los pacientes son reclutados como una muestra de una población, y sus características, como la presión arterial, pueden considerarse como provenientes de una muestra aleatoria .

Bajo ciertas suposiciones (típicamente, suposiciones de distribución normal ) existe una razón conocida entre la pendiente verdadera y la pendiente estimada esperada. Frost y Thompson (2000) revisan varios métodos para estimar esta razón y, por lo tanto, corregir la pendiente estimada. ^{[ 4 ]} El término razón de dilución de regresión , aunque no está definido exactamente de la misma manera por todos los autores, se utiliza para este enfoque general, en el que se ajusta la regresión lineal habitual y luego se aplica una corrección. La respuesta a Frost y Thompson por Longford (2001) remite al lector a otros métodos, ampliando el modelo de regresión para reconocer la variabilidad en la variable x, de modo que no surja ningún sesgo. ^{[ 5 ]} Fuller (1987) es una de las referencias estándar para evaluar y corregir la dilución de regresión. ^{[ 6 ]}

Hughes (1993) muestra que los métodos de razón de dilución de regresión se aplican aproximadamente en modelos de supervivencia . ^{[ 7 ]} Rosner (1992) muestra que los métodos de razón se aplican aproximadamente a modelos de regresión logística . ^{[ 8 ]} Carroll et al. (1995) dan más detalles sobre la dilución de regresión en modelos no lineales , presentando los métodos de razón de dilución de regresión como el caso más simple de métodos de calibración de regresión , en el que también se pueden incorporar covariables adicionales. ^{[ 9 ]}

En general, los métodos para el modelo estructural requieren una estimación de la variabilidad de la variable x. Esto exige mediciones repetidas de la variable x en los mismos individuos, ya sea en un subestudio del conjunto de datos principal o en un conjunto de datos independiente. Sin esta información, no será posible realizar ninguna corrección.

El caso de múltiples variables predictoras sujetas a variabilidad (posiblemente correlacionadas ) ha sido ampliamente estudiado para la regresión lineal y para algunos modelos de regresión no lineal . ^{[ 6 ] [ 9 ]} Otros modelos no lineales, como los modelos de riesgos proporcionales para el análisis de supervivencia , se han considerado únicamente con una sola variable predictora sujeta a variabilidad. ^{[ 7 ]}

Dejar${\displaystyle \beta }$y${\displaystyle \theta }$Sean los valores verdaderos de dos atributos de alguna persona o unidad estadística . Estos valores son variables en virtud del supuesto de que difieren para diferentes unidades estadísticas en la población .${\displaystyle {\sombrero {\beta }}}$ y${\displaystyle {\sombrero {\theta }}}$ser estimaciones de${\displaystyle \beta }$y${\displaystyle \theta }$derivado directamente de la observación con error o de la aplicación de un modelo de medición, como el modelo de Rasch . Además, sea

${\displaystyle {\hat {\beta }}=\beta +\epsilon _{\beta },\quad \quad {\hat {\theta }}=\theta +\epsilon _{\theta },}$

dónde${\displaystyle \epsilon _ {\beta }}$y${\displaystyle \epsilon _ {\theta }}$son los errores de medición asociados con las estimaciones${\displaystyle {\sombrero {\beta }}}$y${\displaystyle {\sombrero {\theta }}}$.

La correlación estimada entre dos conjuntos de estimaciones es

${\displaystyle \operatorname {corr} ({\hat {\beta }},{\hat {\theta }})={\frac {\operatorname {cov} ({\hat {\beta }},{\hat {\theta }})}{{\sqrt {\operatorname {var} [{\hat {\beta }}]\operatorname {var} [{\hat {\theta }}}}]}}}$

${\displaystyle ={\frac {\operatorname {cov} (\beta +\epsilon _{\beta },\theta +\epsilon _{\theta })}{\sqrt {\operatorname {var} [\beta +\epsilon _{\beta }]\operatorname {var} [\theta +\epsilon _{\theta }]}}},}$

lo cual, suponiendo que los errores no están correlacionados entre sí y con los verdaderos valores de los atributos, da como resultado

${\displaystyle \operatorname {corr} ({\hat {\beta }},{\hat {\theta }})={\frac {\operatorname {cov} (\beta ,\theta )}{\sqrt {(\operatorname {var} [\beta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\beta }])(\operatorname {var} [\theta ]+\operatorname {var} [\epsilon _ {\theta }])}}}}$

${\displaystyle ={\frac {\operatorname {cov} (\beta ,\theta )}{\sqrt {(\operatorname {var} [\beta ]\operatorname {var} [\theta ])}}}.{\frac {\sqrt {\operatorname {var} [\beta ]\operatorname {var} [\theta ]}}{\sqrt {(\operatorname {var} [\beta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\beta }])(\operatorname {var} [\theta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\theta }])}}}}$

${\displaystyle =\rho {\sqrt {R_{\beta }R_{\theta }}},}$

dónde${\displaystyle R_{\beta }}$es el índice de separación del conjunto de estimaciones de${\displaystyle \beta }$, que es análogo al alfa de Cronbach ; es decir, en términos de la teoría clásica de pruebas ,${\displaystyle R_{\beta }}$es análogo a un coeficiente de fiabilidad. Específicamente, el índice de separación se define de la siguiente manera:

${\displaystyle R_{\beta }={\frac {\operatorname {var} [\beta ]}{\operatorname {var} [\beta ]+\operatorname {var} [\epsilon _{\beta }]}}=1-{\frac {\operatorname {var} [\epsilon _{\beta }]}{\operatorname {var} [{\hat {\beta }}]}},}$

donde el error estándar cuadrático medio de la estimación de la persona proporciona una estimación de la varianza de los errores,${\displaystyle \epsilon _{\beta }}$Los errores estándar se producen normalmente como un subproducto del proceso de estimación (véase la estimación del modelo de Rasch ).

Por lo tanto, la estimación corregida de la correlación entre los dos conjuntos de estimaciones de parámetros es:

${\displaystyle \rho ={\frac {{\mbox{corr}}({\hat {\beta }},{\hat {\theta }})}{\sqrt {R_{\beta }R_{\theta }}}}.}$

Es decir, la estimación de correlación corregida se obtiene dividiendo la correlación entre las estimaciones por la media geométrica de los índices de separación de ambos conjuntos de estimaciones. Expresada en términos de la teoría clásica de pruebas, la correlación se divide por la media geométrica de los coeficientes de fiabilidad de dos pruebas.