Análisis de componentes direccionales

El análisis de componentes direccionales ( DCA ) ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} es un método estadístico utilizado en la ciencia del clima para identificar patrones representativos de variabilidad en conjuntos de datos espacio-temporales, como observaciones climáticas históricas, ^{[ 1 ]} conjuntos de predicción meteorológica ^{[ 2 ]} o conjuntos climáticos . ^{[ 3 ]}

El primer patrón DCA es un patrón de variabilidad meteorológica o climática que es probable que ocurra (medido mediante la probabilidad ) y que tiene un gran impacto (para una función de impacto lineal específica y dadas ciertas condiciones matemáticas: véase más abajo).

El primer patrón DCA contrasta con el primer patrón PCA , que es probable que ocurra, pero puede que no tenga un gran impacto, y con un patrón derivado del gradiente de la función de impacto, que tiene un gran impacto, pero puede que no sea probable que ocurra.

DCA se diferencia de otros métodos de identificación de patrones utilizados en la investigación climática, como EOF ^{[ 4 ]} , EOF rotados ^{[ 5 ]} y EOF extendidos ^{[ 6 ],} en que tiene en cuenta un vector externo, el gradiente del impacto.

DCA proporciona una forma de reducir grandes conjuntos de predicciones meteorológicas ^{[ 2 ]} o modelos climáticos ^{[ 3 ]} a solo dos patrones. El primer patrón es la media del conjunto, y el segundo es el patrón DCA, que representa la variabilidad alrededor de la media del conjunto teniendo en cuenta el impacto. DCA se diferencia de otros métodos propuestos para la reducción de conjuntos ^{[ 7 ] [ 8 ]} en que considera el impacto además de la estructura del conjunto.

Fuente: ^{[ 1 ]}

La figura 1 muestra un ejemplo, que puede entenderse de la siguiente manera:

• Los dos ejes representan anomalías de la precipitación media anual en dos ubicaciones, con los valores más altos de anomalía de precipitación total hacia la esquina superior derecha del diagrama.
• Se supone que la variabilidad conjunta de las anomalías de precipitación en las dos ubicaciones sigue una distribución normal bivariada.
• La elipse muestra un único contorno de densidad de probabilidad de esta distribución normal bivariada, con valores más altos dentro de la elipse.
• El punto rojo en el centro de la elipse muestra anomalías de precipitación cero en ambas ubicaciones.
• La flecha azul de líneas paralelas muestra el eje principal de la elipse, que también es el primer vector de patrón espacial de PCA.
• En este caso, el patrón PCA se escala de manera que toque la elipse.
• La línea recta diagonal muestra una línea de anomalía de precipitación total positiva constante, que se supone que está en un nivel bastante extremo.
• La flecha roja de línea punteada muestra el primer patrón DCA, que apunta hacia el punto en el que la línea diagonal es tangente a la elipse.
• En este caso, el patrón DCA se escala de manera que toque la elipse.

A partir de este diagrama, se puede observar que el patrón DCA posee las siguientes propiedades:

• De todos los puntos de la línea diagonal, es el que tiene la mayor densidad de probabilidad.
• De todos los puntos de la elipse, es el que presenta la mayor anomalía de precipitación total.
• Tiene la misma densidad de probabilidad que el patrón PCA, pero representa una mayor cantidad de lluvia total (es decir, apunta más hacia la esquina superior derecha del diagrama).
• Cualquier cambio en el patrón DCA reducirá la densidad de probabilidad (si se sale de la elipse) o reducirá la anomalía total de precipitación (si se mueve a lo largo o dentro de la elipse).

En este caso, la anomalía total de precipitación del patrón PCA es bastante pequeña, debido a las anticorrelaciones entre las anomalías de precipitación en las dos ubicaciones. Como resultado, el primer patrón PCA no es un buen ejemplo representativo de un patrón con una gran anomalía total de precipitación, mientras que el primer patrón DCA sí lo es.

En${\displaystyle n}$dimensiones la elipse se convierte en un elipsoide, la línea diagonal se convierte en un${\displaystyle n-1}$plano dimensional, y los patrones PCA y DCA son vectores en${\displaystyle n}$dimensiones.

Fuente: ^{[ 1 ]}

Consideremos un conjunto de datos espacio-temporales.${\displaystyle X}$, que contienen vectores de patrones espaciales individuales${\displaystyle x}$donde cada patrón individual se considera como una muestra única de una distribución normal multivariada con media cero y matriz de covarianza.${\displaystyle C}$.

Como función de${\displaystyle x}$, la densidad de probabilidad logarítmica es proporcional a${\displaystyle -x^{t}C^{-1}x}$.

Definimos una función de impacto lineal de un patrón espacial como${\displaystyle r^{t}x}$, dónde${\displaystyle r}$es un vector de pesos espaciales.

A continuación, buscamos el patrón espacial que maximice la densidad de probabilidad para un valor dado de la función de impacto lineal. Esto equivale a encontrar el patrón espacial que maximice la densidad de probabilidad logarítmica para un valor dado de la función de impacto lineal, lo cual es ligeramente más fácil de resolver.

Este es un problema de maximización con restricciones, y puede resolverse utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange .

La función lagrangiana viene dada por

${\displaystyle L(x,\lambda )=-x^{t}C^{-1}x-\lambda (r^{t}x-1)}$

Diferenciación por${\displaystyle x}$y establecerlo a cero da la solución

${\displaystyle x\propto Cr}$

Normalizar para que${\displaystyle x}$es vector unitario da

${\displaystyle x=Cr/(r^{t}CCr)^{1/2}}$

Este es el primer patrón DCA.

Se pueden derivar patrones subsiguientes que sean ortogonales al primero, para formar un conjunto ortonormal y un método para la factorización de matrices.