Integración directa de un haz

La integración directa es un método de análisis estructural para medir el esfuerzo cortante interno, el momento interno, la rotación y la deflexión de una viga.

Para una viga con un peso aplicado${\displaystyle w(x)}$, considerando que la dirección hacia abajo es positiva, la fuerza cortante interna se obtiene tomando la integral negativa del peso:

${\displaystyle V(x)=-\int w(x)\,dx}$

El momento interior${\displaystyle M(x)}$es la integral del esfuerzo cortante interno:

${\displaystyle M(x)=\int V(x)\,dx}$=${\displaystyle -\int \left[\int w(x)\,dx\right]dx}$

El ángulo de rotación con respecto a la horizontal,${\displaystyle \theta }$es la integral del momento interno dividida por el producto del módulo de Young y el momento de inercia del área :

${\displaystyle \theta (x)={\frac {1}{EI}}\int M(x)\,dx}$

Integrando el ángulo de rotación se obtiene el desplazamiento vertical.${\displaystyle \nu }$:

${\displaystyle \nu (x)=\int \theta (x)\,dx}$

Cada vez que se realiza una integración , es necesario obtener una constante de integración. Estas constantes se determinan utilizando las fuerzas en los apoyos o en los extremos libres.

Para el esfuerzo cortante y el momento internos, las constantes se pueden encontrar analizando el diagrama de cuerpo libre de la viga .

Para la rotación y el desplazamiento, las constantes se determinan utilizando condiciones que dependen del tipo de apoyos. En una viga en voladizo, el apoyo fijo presenta rotación y desplazamiento nulos. En una viga apoyada sobre un pasador y un rodillo, ambos apoyos presentan desplazamiento nulo.

Consideremos la viga mostrada a la derecha, apoyada por un pasador fijo a la izquierda y un rodillo a la derecha. No hay momentos aplicados, el peso es constante de 10  kN y, debido a la simetría, cada apoyo aplica una  fuerza vertical de 75 kN a la viga. Tomando x como la distancia desde el pasador,

${\displaystyle w(x)=10~{\textrm {kN}}/{\textrm {m}}}$

Integrando,

${\displaystyle V(x)=-\int w(x)\,dx=-10x+C_{1}({\textrm {kN}})}$

dónde${\displaystyle C_{1}}$representa las cargas aplicadas. Para estos cálculos, la única carga que tiene efecto sobre la viga es la  carga de 75 kN aplicada por el pasador, aplicada en x=0, dando

${\displaystyle V(x)=-10x+75({\textrm {kN}})}$

Integrando el esfuerzo cortante interno,

${\displaystyle M(x)=\int V(x)\,dx=-5x^{2}+75x({\textrm {kN}}\cdot {\textrm {m}})}$donde, porque no hay momento aplicado,${\displaystyle C_{2}=0}$.

Suponiendo un valor de EI de 1  kN${\displaystyle \cdot }$metro${\displaystyle \cdot }$m (para simplificar, los valores reales de E I para elementos estructurales como el acero suelen ser mayores en potencias de diez)

${\displaystyle \theta (x)=\int {\frac {M(x)}{EI}}\,dx=-{\frac {5}{3}}x^{3}+{\frac {75}{2}}x^{2}+C_{3}({\textrm {m}}/{\textrm {m}})}$* y

${\displaystyle \nu (x)=\int \theta (x)\,dx=-{\frac {5}{12}}x^{4}+{\frac {75}{6}}x^{3}+C_{3}x+C_{4}({\textrm {m}})}$

Debido a los soportes verticales en cada extremo de la viga, el desplazamiento (${\displaystyle \nu }$) en x = 0 y x = 15  m es cero. Sustituyendo (x = 0, ν(0) = 0) y (x = 15  m, ν(15  m) = 0), podemos resolver para las constantes${\displaystyle C_{3}}$=-1406.25 y${\displaystyle C_{4}}$=0, lo que produce

${\displaystyle \theta (x)=\int {\frac {M(x)}{EI}}\,dx=-{\frac {5}{3}}x^{3}+{\frac {75}{2}}x^{2}-1406.25({\textrm {m}}/{\textrm {m}})}$y

${\displaystyle \nu (x)=\int \theta (x)\,dx=-{\frac {5}{12}}x^{4}+{\frac {75}{6}}x^{3}-1406.25x({\textrm {m}})}$

Para el valor de EI dado, el desplazamiento máximo, en x=7,5  m, es aproximadamente 440 veces la longitud de la viga. Para una situación más realista, como una carga uniforme de 1  kN y un valor de EI de 5000  kN·m², el desplazamiento sería de aproximadamente 13  cm.

• Tenga en cuenta que para la rotación${\displaystyle \theta }$Las unidades son metros divididos por metros (o cualquier otra unidad de longitud que se reduzca a la unidad). Esto se debe a que la rotación se expresa como una pendiente , que es el desplazamiento vertical dividido por el cambio horizontal.

• Doblado
• teoría de haces
• ecuación estática de vigas de Euler-Bernoulli
• Mecánica de sólidos
• Trabajo virtual

• Hibbeler, RC, Materiales de mecánica, sexta edición; Pearson Prentice Hall, 2005. ISBN 0-13-191345-X.

• Deflexión de vigas mediante el método de doble integración