Número decagonal

Un número decagonal es un número figurado que extiende el concepto de números triangulares y cuadrados al decágono (un polígono de diez lados). Sin embargo, a diferencia de los números triangulares y cuadrados, los patrones involucrados en la construcción de números decagonales no son simétricos rotacionalmente. Específicamente, el n -ésimo número decagonal cuenta los puntos en un patrón de n decágonos anidados, todos compartiendo una esquina común, donde el i -ésimo decágono en el patrón tiene lados hechos de i puntos espaciados una unidad entre sí. El n -ésimo número decagonal se da por la siguiente fórmula

$Estilo de visualización d_{n}=4n^{2}-3n}$.

Los primeros números decagonales son:

0 , 1 , 10 , 27 , 52 , 85 , 126 , 175 , 232 , 297 , 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105 , 1242, 1387, 1540, 1701 , 0, 2047, 2232, 2425, 2626, 2835, 3052, 3277, 3510, 3751, 4000 , 4257, 4522, 4795, 5076, 5365, 5662, 5967, 6280, 6601, 6930, 7267, 7612, 7965, 8326 (secuencia A001107 en la OEIS ).

El n- ésimo número decagonal también se puede calcular sumando el cuadrado de n al triple del ( n −1)ésimo número pronico o, para decirlo algebraicamente, como

${\displaystyle D_{n}=n^{2}+3\left(n^{2}-n\right)}$.

• Los números decagonales alternan consistentemente la paridad .
• $Estilo de visualización D_{n}$es la suma de los primeros números naturales congruentes con 1 mod 8.${\estilo de visualización n}$
• $Estilo de visualización D_{n}$es el número de divisores de .$Estilo de visualización 48^{n-1}}$
• Los únicos números decagonales que son números cuadrados son 0 y 1.
• Los números decagonales siguen las siguientes relaciones de recurrencia:

${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+8n-7,D_{0}=0}$

${\displaystyle D_{n}=2D_{n-1}-D_{n-2}+8,D_{0}=0,D_{1}=1}$

${\displaystyle D_{n}=3D_{n-1}-3D_{n-2}+D_{n-3},D_{0}=0,D_{1}=1,D_{2}=10}$