Problema de escaleras cruzadas

El problema de las escaleras cruzadas es un rompecabezas de origen desconocido que ha aparecido en varias publicaciones y reaparece regularmente en páginas web y discusiones de Usenet .

Dos escaleras de longitud a y b se encuentran en posiciones opuestas en un callejón, como se muestra en la figura. Las escaleras se cruzan a una altura h sobre el piso del callejón. ¿Cuál es el ancho del callejón?

Martin Gardner presenta y analiza el problema ^[1] en su libro de acertijos matemáticos publicado en 1979 y cita referencias al mismo desde 1895. El problema de las escaleras cruzadas puede aparecer en varias formas, con variaciones en el nombre, utilizando distintas longitudes y alturas, o solicitando soluciones inusuales como casos en los que todos los valores son números enteros. Su encanto se ha atribuido a una aparente simplicidad que puede degenerar rápidamente en un "lío algebraico" (caracterización atribuida por Gardner a DF Church).

La descripción del problema implica que w > 0, que a > w , y b > w , que h > 0, y que A > h , B > h , donde A y B son las alturas de las paredes hacia donde se inclinan los lados de longitudes b y a respectivamente (como en el gráfico anterior).

Ambos métodos de solución a continuación se basan en la propiedad de que A , B y h satisfacen la ecuación óptica , es decir , que puede verse de la siguiente manera: ${\displaystyle {\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}={\tfrac {1}{h}},}$

Divide la línea base en dos partes en el punto donde se encuentran , y llama a las partes izquierda y derecha y respectivamente. El ángulo donde se encuentran es común a dos triángulos semejantes con bases y respectivamente. El ángulo donde se encuentran es común a dos triángulos semejantes con bases y respectivamente. Esto nos dice que${\displaystyle h}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w_{2}}$

${\displaystyle {\frac {B}{w}}={\frac {h}{w_{1}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {A}{w}}={\frac {h}{w_{2}}},\quad {\text{where}}\quad w_{1}>0,w_{2}>0,}$

que luego podemos reorganizar (usando ) para obtener${\displaystyle w_{1}+w_{2}=w}$

${\displaystyle {\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B}}={\frac {1}{h}}.}$

Dos enunciados del teorema de Pitágoras (véase la figura anterior)

${\displaystyle A^{2}+w^{2}=b^{2}}$

y

${\displaystyle B^{2}+w^{2}=a^{2}}$

se pueden restar uno del otro para eliminar w , y el resultado se puede combinar con A o B resueltos alternativamente para obtener las ecuaciones cuárticas ^[2]${\displaystyle {\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}={\tfrac {1}{h}}}$

${\displaystyle A^{4}-2hA^{3}+(h-A)^{2}(a^{2}-b^{2})=0,}$

${\displaystyle B^{4}-2hB^{3}+(h-B)^{2}(b^{2}-a^{2})=0.}$

Estos se pueden resolver algebraicamente o numéricamente para las alturas de las paredes A y B , y se puede usar el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos para resolver el ancho w .

El problema puede reducirse a la ecuación cuártica x ³ ( x − c ) − 1 = 0 , que puede resolverse mediante métodos de aproximación, como lo sugiere Gardner, o la ecuación cuártica puede resolverse en forma cerrada mediante el método de Ferrari . Una vez que se obtiene x , se calcula fácilmente el ancho del callejón. A continuación se proporciona una derivación de la cuártica, junto con el ancho deseado en términos de la solución cuártica. Tenga en cuenta que la incógnita solicitada w no aparece directamente en la mayor parte de la derivación.

De nosotros obtenemos ${\displaystyle {\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}={\tfrac {1}{h}},}$

${\displaystyle {\text{(Eq. 1)}}\quad AB=h(A+B).}$

Usando el teorema de Pitágoras , podemos ver que

${\displaystyle w^{2}+B^{2}=a^{2}}$y${\displaystyle w^{2}+A^{2}=b^{2}.}$

Aislando en ambas ecuaciones, vemos que ${\displaystyle w^{2}}$

${\displaystyle a^{2}-B^{2}=b^{2}-A^{2},}$

que se puede reorganizar y factorizar en

${\displaystyle {\text{(Eq. 2)}}\quad a^{2}-b^{2}=(B+A)(B-A).}$

Elevar al cuadrado (Ec. 2) y combinar con (Ec. 1):

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(B+A)^{2}(B-A)^{2},}$

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(B+A)^{2}(B^{2}-2AB+A^{2}).}$

Reorganizar para obtener

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}(A^{2}+B^{2}-2AB).}$

Entonces

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}(A^{2}+B^{2}+2AB-4AB),}$

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}{\big (}(A^{2}+2AB+B^{2})-4AB{\big )},}$

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}{\big (}(A+B)^{2}-4AB{\big )}.}$

Ahora, combine con (Ec. 1):

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}{\big (}(A+B)^{2}-4h(A+B){\big )},}$

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}(A+B){\big (}(A+B)-4h{\big )}.}$

Finalmente,

${\displaystyle {\text{(Eq. 3)}}\quad (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{3}(A+B-4h).}$

Dejar

${\displaystyle x={\frac {A+B}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}},}$

${\displaystyle c={\frac {4h}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}.}$

Entonces

${\displaystyle x^{3}(x-c)-1=0.}$(igual que la ecuación 3 con los lados invertidos)

La ecuación de cuarta potencia anterior se puede resolver para x utilizando cualquier método disponible. El ancho del callejón se encuentra entonces utilizando el valor encontrado para x : La identidad

${\displaystyle A+B=A+{\sqrt {A^{2}+(a^{2}-b^{2})}}}$

se puede utilizar para encontrar A , y w finalmente se puede encontrar mediante

${\displaystyle w={\sqrt {b^{2}-A^{2}}}.}$

Una ecuación de cuarto grado tiene cuatro soluciones, y solo una solución para esta ecuación coincide con el problema tal como se presenta. Otra solución es para un caso en el que una escalera (y pared) está por debajo del nivel del suelo y la otra por encima del nivel del suelo. En este caso, las escaleras en realidad no se cruzan, pero sus extensiones sí lo hacen a la altura especificada. Las otras dos soluciones son un par de números complejos conjugados. La ecuación no tiene las longitudes de las escaleras definidas explícitamente, solo la diferencia de sus cuadrados, por lo que se podría tomar la longitud como cualquier valor que las haga cruzar, y el espaciado de las paredes se definiría como entre donde las escaleras se cruzan con las paredes.

A medida que la separación de las paredes se acerca a cero, la altura del cruce se acerca a Esto se debe a que (probado al principio) implica y cuando w tiende a cero, b va a A y a va a B según el diagrama superior. ${\displaystyle h={\frac {ab}{a+b}}.}$${\displaystyle {\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}={\tfrac {1}{h}}}$${\displaystyle h={\tfrac {AB}{A+B}},}$

Como las soluciones de la ecuación implican raíces cuadradas, las raíces negativas son igualmente válidas. Se pueden interpretar como que tanto las escaleras como las paredes están por debajo del nivel del suelo y, al estar en sentido opuesto, se pueden intercambiar.

Las soluciones complejas se pueden interpretar como la pared A inclinada hacia la izquierda o la derecha y la pared B bajo tierra, por lo que la intersección es entre las extensiones de las escaleras como se muestra para el caso a , b , h = 3, 2, 1. Las escaleras a y b no son como se especifica. La base w es una función de A , B y h , y los valores complejos de A y B se pueden encontrar a partir de la ecuación cuártica alternativa .${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle x^{4}-2hx^{3}+Dx^{2}-2hDx+h^{2}D=0}$

donde D es para una pared y para la otra (±5 en el ejemplo). Nótese que las soluciones imaginarias son horizontales y las reales son verticales. El valor D se encuentra en la solución como la parte real de la diferencia en los cuadrados de las coordenadas complejas de las dos paredes. La parte imaginaria = 2 X _a Y _a = 2 X _b Y _b (paredes a y b ). La escalera corta en la solución compleja en el caso 3, 2, 1 parece estar inclinada 45 grados, pero en realidad un poco menos con una tangente de 0,993. Otras combinaciones de longitudes de escalera y altura de cruce tienen soluciones complejas comparables. Con la combinación 105, 87, 35 la tangente de la escalera corta es aproximadamente 0,75. ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$${\displaystyle b^{2}-a^{2}}$

Existen soluciones en las que todos los parámetros son números enteros. ^[3] Por ejemplo, ^[2] ( a, b, A, B, w ₁ , w ₂ , w , h ) = (119, 70, 42, 105, 16, 40, 56, 30). Tales soluciones implican ternas pitagóricas para los dos triángulos rectángulos con lados ( A , w , b ) y ( B , w , a ) y soluciones enteras de la ecuación óptica ${\displaystyle {\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}={\tfrac {1}{h}}.}$

La ecuación óptica del problema de las escaleras cruzadas se puede aplicar al plegado de papel rectangular en tres partes iguales:

⁠1/1/2⁠ + ⁠1/1⁠ = ⁠1/yo⁠   ∴ 2 + 1 = ⁠1/yo⁠   ∴   h = ⁠1/2 + 1⁠ = ⁠1/3⁠

Un lado (izquierdo en la ilustración) está parcialmente doblado por la mitad y pellizcado para dejar una marca. La intersección de una línea desde esta marca hasta una esquina opuesta (roja) con una diagonal (azul) está exactamente a un tercio del borde inferior. El borde superior puede doblarse hacia abajo para encontrarse con la intersección. ^[4]

También está exactamente a un tercio horizontalmente del borde izquierdo; doblar el borde derecho para que coincida con la intersección permite doblar el papel en tercios a lo largo.

De manera similar, al doblar el lado izquierdo dos veces para obtener cuartos, se puede doblar la hoja en cinco partes iguales:

⁠1/1/4⁠ + ⁠1/1⁠ = ⁠1/h′⁠   ∴ 4 + 1 = ⁠1/h′⁠   ∴   h′ = ⁠1/4 + 1⁠ = ⁠1/5⁠

y al doblarlo tres veces para obtener ocho, se dobla la hoja en nueve partes iguales, etc.:

⁠1/1/8⁠ + ⁠1/1⁠ = ⁠1/"algo"⁠   ∴ 8 + 1 = ⁠1/"algo"⁠   ∴   h″ = ⁠1/8 + 1⁠ = ⁠1/9⁠

El teorema de las escaleras cruzadas se amplió a las escaleras cruzadas dentro de un triángulo. En 2002, Harold Joseph Stengel (1947-2007), un profesor de matemáticas de secundaria estadounidense, demostró el teorema extendido. ^[5]

Sea AC la base de un triángulo ABC. Sea la escalera (línea) AD con su base en A e interseca a BC en D; asimismo, sea la escalera CE con su base en C e interseca a AB en E. Sea AD interseca a CE en F. Prolonga líneas paralelas desde los puntos E, B, F y D, interseca a AC en los puntos I, G, J y H, respectivamente. Entonces

⁠1/EI⁠ + ⁠1/es⁠ = ⁠1/F.J.⁠ + ⁠1/BLANCO⁠

De donde se sigue que

⁠1/Área (△ AEC)⁠ + ⁠1/área (△ ADC)⁠ = ⁠1/área (△ AFC)⁠ + ⁠1/área (△ ABC)⁠ .

• Trapecio rectángulo , cuadrilátero cuyos vértices están en los vértices superiores e inferiores de las dos escaleras.

• Teorema de las escaleras cruzadas de Jay Warendorff, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Resolviendo el rompecabezas de escaleras cruzadas (con Python, GNU GSL, Octave, Maxima y Sage).