Matroide de Coxeter

En matemáticas, los matroides de Coxeter son una generalización de los matroides que dependen de la elección de un grupo de Coxeter W y un subgrupo parabólico P. Los matroides ordinarios corresponden al caso en que P es un subgrupo parabólico maximal de un grupo simétrico W. Fueron introducidos por Gelfand y Serganova ( 1987 , 1987b ) , quienes los nombraron en honor a HSM Coxeter .  

Borovik, Gelfand y White (2003) ofrecen una descripción detallada de los matroides de Coxeter.

Supongamos que W es un grupo de Coxeter, generado por un conjunto S de involuciones, y P es un subgrupo parabólico (el subgrupo generado por algún subconjunto de S ). Un matroide de Coxeter es un subconjunto M de W / P que para cada w en W , M contiene un único elemento mínimo con respecto al orden w - Bruhat .

Supongamos que el grupo de Coxeter W es el grupo simétrico S _n y P es el subgrupo parabólico S _k × S _{n – k} . Entonces W / P se puede identificar con los subconjuntos de k elementos del conjunto de n elementos {1,2,..., n } y los elementos w de W corresponden a los ordenamientos lineales de este conjunto. Un matroide de Coxeter consta de conjuntos de k elementos tales que para cada w hay un único elemento mínimo en el ordenamiento de Bruhat correspondiente de subconjuntos de k elementos. Esta es precisamente la definición de un matroide de rango k sobre un conjunto de n elementos en términos de bases: un matroide se puede definir como algunos subconjuntos de k elementos llamados bases de un conjunto de n elementos tales que para cada ordenamiento lineal del conjunto hay una única base mínima en el ordenamiento de Gale de subconjuntos de k elementos.

• Borovik, Alexandre V .; Gelfand, IM ; White, Neil (2003), Matroides de Coxeter , Progress in Mathematics, vol.  216, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi : 10.1007/978-1-4612-2066-4 , ISBN 978-0-8176-3764-4, MR 1989953 
• Gelfand, IM ; Serganova, VV (1987), "Sobre la definición general de matroide y codicioso", Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso), 292 (1): 15-20 , ISSN 0002-3264 , MR 0871945  
• Gelfand, IM ; Serganova, VV (1987b), "Geometrías combinatorias y estratos de un toro en variedades compactas homogéneas", Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 42 ​​(2): 107– 134, doi : 10.1070/RM1987v042n02ABEH001308 , ISSN 0042-1316 , SEÑOR 0898623  – Traducción al inglés en Russian Mathematical Surveys 42 (1987), n.º 2, 133–168