elemento Coxeter

En matemáticas , un elemento de Coxeter es un elemento de un grupo de Coxeter irreducible que es producto de todas las reflexiones simples. El producto depende del orden en que se toman, pero diferentes ordenaciones producen elementos conjugados , que tienen el mismo orden . Este orden se conoce como número de Coxeter . Reciben su nombre del geómetra británico-canadiense HSM Coxeter , quien introdujo estos grupos en 1934 como abstracciones de grupos de reflexión . ^{[ 1 ]}

Cabe señalar que este artículo presupone un grupo de Coxeter finito . Para grupos de Coxeter infinitos, existen múltiples clases de conjugación de elementos de Coxeter, y estas tienen orden infinito.

Existen muchas maneras diferentes de definir el número de Coxeter h de un sistema de raíces irreducible.

• El número de Coxeter es el orden de cualquier elemento de Coxeter; .
• El número de Coxeter es${\displaystyle {\tfrac {2m}{n}},}$donde n es el rango y m es el número de reflexiones. En el caso cristalográfico, m es la mitad del número de raíces ; y 2 ​​m + n es la dimensión del álgebra de Lie semisimple.
• Si la raíz más alta es${\displaystyle \sum m_{i}\alpha _{i}}$Para raíces simples α _i , entonces el número de Coxeter es${\displaystyle 1+\sum m_{i}.}$
• El número de Coxeter es el grado más alto de un invariante fundamental del grupo de Coxeter que actúa sobre polinomios.

El número de Coxeter para cada tipo de Dynkin se indica en la siguiente tabla:

Los invariantes del grupo de Coxeter que actúan sobre polinomios forman un álgebra de polinomios cuyos generadores son los invariantes fundamentales; sus grados se dan en la tabla anterior. Nótese que si m es un grado de un invariante fundamental, entonces h + 2 − m también lo es .

Los valores propios de un elemento de Coxeter son los números${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {m-1}{h}}}}$como m recorre los grados de los invariantes fundamentales. Dado que esto comienza con m = 2 , estos incluyen la raíz h -ésima primitiva de la unidad ,${\displaystyle \zeta _{h}=e^{2\pi i{\frac {1}{h}}},}$lo cual es importante en el plano de Coxeter , abajo.

El número de Coxeter dual es 1 más la suma de los coeficientes de las raíces simples en la raíz corta más alta del sistema de raíces dual .

Existen relaciones entre el orden g del grupo de Coxeter y el número de Coxeter h : ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{}[p]:&\quad {\frac {2h}{g_{p}}}=1\\[4pt][p,q]:&\quad {\frac {8}{g_{p,q}}}={\frac {2}{p}}+{\frac {2}{q}}-1\\[4pt][p,q,r]:&\quad {\frac {64h}{g_{p,q,r}}}=12-p-2q-r+{\frac {4}{p}}+{\frac {4}{r}}\\[4pt][p,q,r,s]:&\quad {\frac {16}{g_{p,q,r,s}}}={\frac {8}{g_{p,q,r}}}+{\frac {8}{g_{q,r,s}}}+{\frac {2}{ps}}-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s}}+1\\[4pt]\vdots \qquad &\qquad \vdots \end{aligned}}}$$

Por ejemplo, [3,3,5] tiene h = 30 : $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {64\times 30}{g_{3,3,5}}}=12-3-6-5+{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}={\frac {2}{15}},\\[4pt]&\therefore g_{3,3,5}={\frac {1920\times 15}{2}}=960\times 15=14400.\end{aligned}}}$$

Los distintos elementos de Coxeter corresponden a orientaciones del diagrama de Coxeter (es decir, a carcajes de Dynkin ): las reflexiones simples correspondientes a los vértices fuente se escriben primero, los vértices aguas abajo después y los sumideros al final. (La elección del orden entre los vértices no adyacentes es irrelevante, ya que corresponden a reflexiones conmutativas). Una elección especial es la orientación alternada, en la que las reflexiones simples se dividen en dos conjuntos de vértices no adyacentes, y todas las aristas se orientan del primer al segundo conjunto. ^{[ 4 ]} La orientación alternada produce un elemento de Coxeter especial w que satisface${\displaystyle w^{h/2}=w_{0},}$donde w ₀ es el elemento más largo , siempre que el número de Coxeter h sea par.

Para${\displaystyle A_{n-1}\cong S_{n},}$el grupo simétrico en n elementos, los elementos de Coxeter son ciertos n -ciclos: el producto de reflexiones simples${\displaystyle (1,2)(2,3)\cdots (n-1,n)}$es el elemento Coxeter${\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)}$. ^{[ 5 ]} Para n par, el elemento de Coxeter de orientación alternada es: $${\displaystyle (1,2)(3,4)\cdots (2,3)(4,5)\cdots =(2,4,6,\ldots ,n{-}2,n,n{-}1,n{-}3,\ldots ,5,3,1).}$$ Hay${\displaystyle 2^{n-2}}$Elementos Coxeter distintos entre los${\displaystyle (n{-}1)!}$n ciclos.

El grupo diedral Dih _p se genera mediante dos reflexiones que forman un ángulo de${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{2p}},}$y por lo tanto los dos elementos de Coxeter son su producto en cualquier orden, que es una rotación por${\displaystyle \pm {\tfrac {2\pi }{p}}.}$

Para un elemento de Coxeter w dado , existe un plano único P sobre el cual w actúa mediante una rotación de ⁠${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{h}}.}$⁠ Esto se denomina plano de Coxeter ^{[ 6 ]} y es el plano en el que P tiene valores propios.${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {1}{h}}}}$y${\displaystyle e^{-2\pi i{\frac {1}{h}}}=e^{2\pi i{\frac {h-1}{h}}}.}$^{[ 7 ]} Este plano fue estudiado sistemáticamente por primera vez en(Coxeter 1948), ^{[ 8 ]} y posteriormente utilizado en(Steinberg 1959)para proporcionar pruebas uniformes sobre las propiedades de los elementos de Coxeter. ^{[ 8 ]}

El plano de Coxeter se usa a menudo para dibujar diagramas de politopos de dimensiones superiores y sistemas de raíces: los vértices y aristas del politopo, o raíces (y algunas aristas que los conectan) se proyectan ortogonalmente sobre el plano de Coxeter, lo que produce un polígono de Petrie con simetría rotacional de orden h . ^{[ 9 ]} Para los sistemas de raíces, ninguna raíz se mapea a cero, lo que corresponde al elemento de Coxeter que no fija ninguna raíz o más bien eje (no tiene autovalor 1 o − 1), por lo que las proyecciones de órbitas bajo w forman arreglos circulares de orden h ^{[ 9 ]} y hay un centro vacío, como en el diagrama E ₈ en la parte superior derecha. Para los politopos, un vértice puede mapearse a cero, como se muestra a continuación. Las proyecciones sobre el plano de Coxeter se muestran a continuación para los sólidos platónicos .

En tres dimensiones, la simetría de un poliedro regular , { p , q }, con un polígono de Petrie dirigido marcado, definido como una composición de 3 reflexiones, tiene simetría de rotoinversión S _h , [2 ⁺ , h ⁺ ] , orden h . Al agregar un espejo, la simetría se puede duplicar a simetría antiprismática, D _{h d} , [2 ⁺ , h ] , orden 2 h . En proyección ortogonal 2D, esto se convierte en simetría diedral , Dih _h , [ h ] , orden 2 h .

En cuatro dimensiones, la simetría de un policoro regular , { p , q , r }, con un polígono de Petrie dirigido marcado es una doble rotación , definida como una composición de 4 reflexiones, con simetría + ¹ / _h [C _h ×C _h ] ^{[ 10 ]} ( John H. Conway ), (C _2h /C ₁ ;C _2h /C ₁ ) (#1', Patrick du Val (1964) ^{[ 11 ]} ), orden h .

En cinco dimensiones, la simetría de un 5-politopo regular , { p , q , r , s }, con un polígono de Petrie dirigido marcado, está representada por la composición de 5 reflexiones.

En las dimensiones 6 a 8 hay 3 grupos de Coxeter excepcionales; un politopo uniforme de cada dimensión representa las raíces de los grupos de Lie excepcionales E _n . Los elementos de Coxeter son 12, 18 y 30 respectivamente.

• Elemento más largo de un grupo de Coxeter