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Articulo de referencia

Comonoticidad

En teoría de la probabilidad , la comonotonicidad se refiere principalmente a la dependencia positiva perfecta entre las componentes de un vector aleatorio , lo que significa qu...

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En teoría de la probabilidad , la comonotonicidad se refiere principalmente a la dependencia positiva perfecta entre las componentes de un vector aleatorio , lo que significa que pueden representarse como funciones crecientes de una única variable aleatoria. En dos dimensiones, también es posible considerar la dependencia negativa perfecta, denominada contramonotonicidad.

La comonotonicidad también está relacionada con la aditividad comonotónica de la integral de Choquet . [ 1 ]

El concepto de comonotonicidad tiene aplicaciones en la gestión de riesgos financieros y la ciencia actuarial , véase, por ejemplo, Dhaene et al. (2002a) y Dhaene et al. (2002b) . En particular, la suma de los componentes X 1 + X 2 + · · · + X n es la más riesgosa si la distribución de probabilidad conjunta del vector aleatorio ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) es comonotónica. [ 2 ] Además, el cuantil α de la suma es igual a la suma de los cuantiles α de sus componentes, por lo que las variables aleatorias comonotónicas son cuantil-aditivas. [ 3 ] [ 4 ] En términos prácticos de gestión de riesgos , significa que hay una reducción mínima (o eventualmente ninguna) de la varianza por la diversificación.

Para extensiones de comonotonicidad, ver Jouini & Napp (2004) y Puccetti & Scarsini (2010) .

Definiciones

Comonotonicidad de subconjuntos de R n

Un subconjunto S de R n se denomina comonotónico [ 5 ] (a veces también no decreciente [ 6 ] ) si, para todo ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) y ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) en S con x i < y i para algún i ∈ {1, 2, . . . , n }, se cumple que x j ≤ y j para todo j ∈ {1, 2, . . . , n }.

Esto significa que S es un conjunto totalmente ordenado .

Comonotonicidad de las medidas de probabilidad en R n

Sea μ una medida de probabilidad en el espacio euclidiano n -dimensional R n y sea F su función de distribución acumulativa multivariada , es decir

F(incógnita1,…,incógnitanorte):=μ({(y1,…,ynorte)∈Rnorte∣y1≤incógnita1,…,ynorte≤incógnitanorte}),(incógnita1,…,incógnitanorte)∈Rnorte.{\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n}):=\mu {\bigl (}\{(y_{1},\ldots ,y_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}\mid y_{1}\leq x_{1},\ldots ,y_{n}\leq x_{n}\}{\bigr )},\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}.}

Además, sea F 1 , . . . , F n las funciones de distribución acumulativa de las n distribuciones marginales unidimensionales de μ , es decir,

Fi(incógnita):=μ({(y1,…,ynorte)∈Rnorte∣yi≤incógnita}),incógnita∈R{\displaystyle F_{i}(x):=\mu {\bigl (}\{(y_{1},\ldots ,y_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}\mid y_{i}\leq x\}{\bigr )},\qquad x\in {\mathbb {R} }}

para cada i ∈ {1, 2, . . . , n }. Entonces μ se llama comonotónico , si

F(incógnita1,…,incógnitanorte)=mini∈{1,…,norte}Fi(incógnitai),(incógnita1,…,incógnitanorte)∈Rnorte.{\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n})=\min _{i\in \{1,\ldots ,n\}}F_{i}(x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}.}

Nótese que la medida de probabilidad μ es comonotónica si y solo si su soporte S es comonotónico según la definición anterior. [ 7 ]

Comonotonicidad de vectores aleatorios con valores en R n

Un vector aleatorio de valores R n X = ( X 1 , . . . , X n ) se denomina comonotónico si su distribución multivariada (la medida pushforward ) es comonotónica, lo que significa

Pr(incógnita1≤incógnita1,…,incógnitanorte≤incógnitanorte)=mini∈{1,…,norte}Pr(incógnitai≤incógnitai),(incógnita1,…,incógnitanorte)∈Rnorte.{\displaystyle \Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})=\min _{i\in \{1,\ldots ,n\}}\Pr(X_{i}\leq x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}.}

Propiedades

Un vector aleatorio con valores R n, X = ( X 1 , . . . , X n ) , es comonotónico si y solo si puede representarse como

(incógnita1,…,incógnitanorte)=d(Fincógnita1−1(U),…,Fincógnitanorte−1(U)),{\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})=_{\text{d}}(F_{X_{1}}^{-1}(U),\ldots ,F_{X_{n}}^{-1}(U)),\,}

donde = d representa la igualdad en distribución, en el lado derecho se encuentran las inversas generalizadas continuas por la izquierda [ 8 ] de las funciones de distribución acumulativa F X 1 , . . . , F X n , y U es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo unitario . De manera más general, un vector aleatorio es comonótono si y solo si coincide en distribución con un vector aleatorio donde todos los componentes son funciones no decrecientes (o todas son funciones no crecientes) de la misma variable aleatoria. [ 9 ]

límites superiores

Cota superior de Fréchet-Hoeffding para funciones de distribución acumulativa

Sea X = ( X 1 , . . . , X n ) un vector aleatorio de R n valores. Entonces, para cada i ∈ {1, 2, . . . , n },

Pr(incógnita1≤incógnita1,…,incógnitanorte≤incógnitanorte)≤Pr(incógnitai≤incógnitai),(incógnita1,…,incógnitanorte)∈Rnorte,{\displaystyle \Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})\leq \Pr(X_{i}\leq x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n},}

por eso

Pr(incógnita1≤incógnita1,…,incógnitanorte≤incógnitanorte)≤mini∈{1,…,norte}Pr(incógnitai≤incógnitai),(incógnita1,…,incógnitanorte)∈Rnorte,{\displaystyle \Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})\leq \min _{i\in \{1,\ldots ,n\}}\Pr(X_{i}\leq x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n},}

con igualdad en todas partes si y solo si ( X 1 , . . . , X n ) es comonotónico.

Límite superior para la covarianza

Sea ( X , Y ) un vector aleatorio bivariado tal que existen los valores esperados de X , Y y el producto X Y. Sea ( X * , Y * ) un vector aleatorio bivariado comonotónico con las mismas distribuciones marginales unidimensionales que ( X , Y ) . [ nota 1 ] Entonces, de la fórmula de Höffding para la covarianza [ 10 ] y la cota superior de Fréchet-Hoeffding se deduce que

Cov(incógnita,Y)≤Cov(incógnita∗,Y∗){\displaystyle {\text{Cov}}(X,Y)\leq {\text{Cov}}(X^{*},Y^{*})}

y, en consecuencia,

mi⁡[incógnitaY]≤mi⁡[incógnita∗Y∗]{\displaystyle \operatorname {E} [XY]\leq \operatorname {E} [X^{*}Y^{*}]}

con igualdad si y solo si ( X , Y ) es comonótnica. [ 11 ]

Nótese que este resultado generaliza la desigualdad de reordenamiento y la desigualdad de suma de Chebyshev .

Véase también

Notas

  1. ↑ ( X * , Y * ) siempre existe, por ejemplo ( F X −1 ( U ), F Y −1 ( U )) , ver la sección Propiedades más arriba.

Citas

  1. ^ ( Sriboonchitta et al. 2010 , págs. 149-152) 
  2. ↑ ( Kaas et al. 2002 , Teorema 6) 
  3. ↑ ( Kaas et al. 2002 , Teorema 7) 
  4. ^ ( McNeil, Frey y Embrechts 2005 , Proposición 6.15) 
  5. ↑ ( Kaas et al. 2002 , Definición 1) 
  6. ↑ Véase ( Nelsen 2006 , Definición 2.5.1) para el caso n = 2 
  7. ↑ Véase ( Nelsen 2006 , Teorema 2.5.4) para el caso n = 2 
  8. ↑ ( McNeil, Frey y Embrechts 2005 , Proposición A.3 (propiedades de la inversa generalizada))
  9. ↑ ( McNeil, Frey y Embrechts 2005 , Proposición 5.16 y su demostración) 
  10. ^ ( McNeil, Frey y Embrechts 2005 , Lema 5.24) 
  11. ↑ ( McNeil, Frey y Embrechts 2005 , Teorema 5.25(2)) 

Referencias

  • Dhaene, Jan; Denuit, Michel; Goovaerts, Marc J.; Vyncke, David (2002a), "El concepto de comonotonicidad en la ciencia actuarial y las finanzas: teoría" (PDF) , Insurance: Mathematics & Economics , 31 (1): 3–33 , doi : 10.1016/s0167-6687(02)00134-8 , MR 1956509 , Zbl 1051.62107 , archivado del original (PDF) el 9 de diciembre de 2008 , recuperado el 28 de agosto de 2012.  
  • Dhaene, Jan; Denuit, Michel; Goovaerts, Marc J.; Vyncke, David (2002b), "El concepto de comonotonicidad en la ciencia actuarial y las finanzas: aplicaciones" (PDF) , Insurance: Mathematics & Economics , 31 (2): 133–161 , CiteSeerX 10.1.1.10.789 , doi : 10.1016/s0167-6687(02)00135-x , MR 1932751 , Zbl 1037.62107 , archivado del original (PDF) el 9 de diciembre de 2008 , recuperado el 28 de agosto de 2012.   
  • Jouini, Elyès; Napp, Clotilde (2004), "Conditional comonotonicity" (PDF) , Decisions in Economics and Finance , 27 (2): 153–166 , doi : 10.1007/s10203-004-0049-y , ISSN 1593-8883 , MR 2104639 , Zbl 1063.60002   
  • Kaas, Rob; Dhaene, enero; Vyncke, David; Goovaerts, Marc J.; Denuit, Michel (2002), "Una prueba geométrica simple de que los riesgos comonotónicos tienen la suma más grande convexa" (PDF) , ASTIN Bulletin , 32 (1): 71– 80, doi : 10.2143/ast.32.1.1015 , MR 1928014 , Zbl 1061.62511  
  • McNeil, Alexander J.; Frey, Rüdiger; Embrechts, Paul (2005), Gestión cuantitativa del riesgo. Conceptos, técnicas y herramientas , Princeton Series in Finance, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12255-7, MR 2175089 , Zbl 1089.91037  
  • Nelsen, Roger B. (2006), Introducción a las cópulas , Springer Series in Statistics (segunda  ed.), Nueva York: Springer , pp.  xiv+269, ISBN 978-0-387-28659-4, MR 2197664 , Zbl 1152.62030  
  • Puccetti, Giovanni; Scarsini, Marco (2010), "Comonotonicidad multivariada" (PDF) , Journal of Multivariate Analysis , 101 (1): 291– 304, doi : 10.1016/j.jmva.2009.08.003 , ISSN 0047-259X , MR 2557634 , Zbl 1184.62081   
  • Sriboonchitta, Songsak; Wong, Wing-Keung; Dhompongsa, Sompong; Nguyen, Hung T. (2010), Stochastic Dominance and Applications to Finance, Risk and Economics , Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 978-1-4200-8266-1, MR 2590381 , Zbl 1180.91010  
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