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Compactificación convexa

En matemáticas, específicamente en análisis convexo , la compactificación convexa es una compactificación que es simultáneamente un subconjunto convexo en un espacio localmente ...

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En matemáticas, específicamente en análisis convexo , la compactificación convexa es una compactificación que es simultáneamente un subconjunto convexo en un espacio localmente convexo en análisis funcional . La compactificación convexa puede usarse para la relajación (como extensión continua) de varios problemas en cálculo variacional y teoría de optimización . La estructura lineal adicional permite, por ejemplo, desarrollar un cálculo diferencial y consideraciones más avanzadas, por ejemplo, en la relajación en cálculo variacional o teoría de optimización. [ 1 ] Puede capturar tanto oscilaciones rápidas como efectos de concentración en controles óptimos o soluciones de problemas variacionales. Se les conoce con los nombres de controles relajados o de vibración (o a veces controles de tipo bang-bang ) en problemas de control óptimo .

La estructura lineal da lugar a diversos principios de máximo como condiciones necesarias de optimalidad de primer orden, conocidas en la teoría de control óptimo como el principio de máximo de Pontryagin . En cálculo variacional, los problemas relajados pueden servir para modelar diversas microestructuras que surgen al modelar materiales ferroicos , es decir, diversos materiales que exhiben, por ejemplo, ferroelasticidad (como las aleaciones con memoria de forma ) o ferromagnetismo . Las condiciones de optimalidad de primer orden para los problemas relajados conducen al principio de máximo de tipo Weierstrass.

En las ecuaciones diferenciales parciales , la relajación conduce al concepto de soluciones con valores de medida.

La noción fue introducida por Roubíček en 1991. [ 1 ]

Ejemplo

Véase también

Referencias

Notas

  1. 1 2 Roubíček, Tomáš (1991), "Compactificaciones convexas y extensiones especiales de problemas de optimización", Nonlinear Analysis , 16 (12): 1117– 1126, doi : 10.1016/0362-546X(91)90199-B , MR 1111622 
  2. ↑ Young, LC (1937), "Curvas generalizadas y existencia de un mínimo absoluto alcanzado en el cálculo de variaciones" , Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie , Classe III, XXX ( 7– 9): 211– 234, JFM 63.1064.01 , Zbl 0019.21901  
  3. ↑ Ball, JM (1989), "Una versión del teorema fundamental para medidas de Young", en Rascle, M.; Serre, D.; Slemrod, M. (eds.), PDEs and continuum models of phase transitions: Proceedings of the NSF–CNRS Joint Seminar held in Nice, January 18–22, 1988 , Lecture Notes in Physics, vol. 344, Berlín: Springer, pp. 207– 215, doi : 10.1007/BFb0024945 , ISBN   3-540-51617-4, MR 1036070 
  4. ↑ Kružík, Martín; Roubíček, Tomáš (1997), "Sobre las medidas de DiPerna y Majda", Mathematica Bohemica , 122 (4): 383– 399, MR 1489400 
  5. ↑ Alibert, JJ; Bouchitté, G. (1997), "Integrabilidad no uniforme y medidas de Young generalizadas", Journal of Convex Analysis , 4 (1): 129–147 , MR 1459885 

Fuentes

  • LC Florescu, C. Godet-Thobie (2012), Medidas jóvenes y compacidad en espacios de medidas , Berlín: W. de Gruyter , ISBN 9783110280517
  • P. Pedregal (1997), Medidas parametrizadas y principios variacionales , Basilea: Birkhäuser, ISBN 978-3-0348-9815-7
  • Roubíček, Tomáš (2020-11-09), "Teoría de las compactificaciones convexas", Relajación en la teoría de la optimización y el cálculo variacional , Serie De Gruyter en aplicaciones de análisis no lineal (2.ª  ed.), De Gruyter , doi : 10.1515/9783110590852-002 , ISBN 978-3-11-059085-2
  • Young, LC (1969), Lecciones sobre el cálculo de variaciones y el control óptimo , Filadelfia-Londres-Toronto: WB Saunders , págs.  xi+331, ISBN 978-0-7216-9640-9, MR 0259704 , Zbl 0177.37801