Control of chaos

In lab experiments that study chaos theory, approaches designed to control chaos are based on certain observed system behaviors. Any chaotic attractor contains an infinite number of unstable, periodic orbits. Chaotic dynamics, then, consists of a motion where the system state moves in the neighborhood of one of these orbits for a while, then falls close to a different unstable, periodic orbit where it remains for a limited time and so forth. This results in a complicated and unpredictable wandering over longer periods of time.^[1]

Control of chaos is the stabilization, by means of small system perturbations, of one of these unstable periodic orbits. The result is to render an otherwise chaotic motion more stable and predictable, which is often an advantage. The perturbation must be tiny compared to the overall size of the attractor of the system to avoid significant modification of the system's natural dynamics.^[2]

Several techniques have been devised for chaos control, but most are developments of two basic approaches: the Ott–Grebogi–Yorke (OGY) method and Pyragas continuous control. Both methods require a previous determination of the unstable periodic orbits of the chaotic system before the controlling algorithm can be designed.

Edward Ott, Celso Grebogi and James A. Yorke were the first to make the key observation that the infinite number of unstable periodic orbits typically embedded in a chaotic attractor could be taken advantage of for the purpose of achieving control by means of applying only very small perturbations. After making this general point, they illustrated it with a specific method, since called the Ott–Grebogi–Yorke (OGY) method of achieving stabilization of a chosen unstable periodic orbit. In the OGY method, small, wisely chosen, kicks are applied to the system once per cycle, to maintain it near the desired unstable periodic orbit.^[3]

Para empezar, se obtiene información sobre el sistema caótico analizando una sección del atractor caótico. Esta sección es una sección de Poincaré . Una vez recopilada la información sobre la sección, se permite que el sistema funcione y se espera hasta que se aproxime a una órbita periódica deseada dentro de la sección. A continuación, se incentiva al sistema a permanecer en esa órbita perturbando el parámetro adecuado. Cuando se modifica el parámetro de control, el atractor caótico se desplaza y se distorsiona ligeramente. Si todo va según lo previsto, el nuevo atractor incentiva al sistema a continuar por la trayectoria deseada. Una ventaja de este método es que no requiere un modelo detallado del sistema caótico, sino solo información sobre la sección de Poincaré. Por esta razón, el método ha tenido tanto éxito en el control de una amplia variedad de sistemas caóticos. ^{[ 4 ]}

Las debilidades de este método radican en aislar la sección de Poincaré y en calcular las perturbaciones precisas necesarias para alcanzar la estabilidad.

En el método de Pyragas para estabilizar una órbita periódica, se inyecta una señal de control continua apropiada en el sistema, cuya intensidad es prácticamente cero cuando el sistema evoluciona cerca de la órbita periódica deseada, pero aumenta cuando se aleja de ella. Tanto el método de Pyragas como el de OGY forman parte de una clase general de métodos llamados métodos de "bucle cerrado" o de "retroalimentación", que pueden aplicarse basándose en el conocimiento del sistema obtenido mediante la simple observación del comportamiento del sistema en su conjunto durante un período de tiempo adecuado. ^{[ 5 ]} El método fue propuesto por el físico lituano Kęstutis Pyragas .

Se ha logrado el control experimental del caos mediante uno o ambos de estos métodos en una variedad de sistemas, incluyendo fluidos turbulentos, reacciones químicas oscilantes, osciladores magnetomecánicos y tejidos cardíacos. ^{[ 6 ]} intentan controlar el burbujeo caótico con el método OGY y utilizando el potencial electrostático como variable de control principal.

Forzar a dos sistemas a alcanzar el mismo estado no es la única forma de lograr la sincronización del caos . Tanto el control del caos como la sincronización forman parte de la física cibernética , un área de investigación en la frontera entre la física y la teoría del control . ^{[ 1 ]}

• Bibliografía sobre control del caos (1997-2000)