Contraste (estadística)

En estadística , particularmente en el análisis de varianza y la regresión lineal , un contraste es una combinación lineal de variables ( parámetros o estadísticos ) cuyos coeficientes suman cero, lo que permite comparar diferentes tratamientos. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Dejar${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{t}}$ser un conjunto de variables, ya sean parámetros o estadísticas , y${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{t}}$ser constantes conocidas. La cantidad${\displaystyle \sum _{i=1}^{t}a_{i}\theta _{i}}$es una combinación lineal. Se llama contraste si${\displaystyle \sum _{i=1}^{t}a_{i}=0}$. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Además, dos contrastes,${\displaystyle \sum _{i=1}^{t}a_{i}\theta _{i}}$y${\displaystyle \sum _{i=1}^{t}b_{i}\theta _{i}}$son ortogonales si${\displaystyle \sum _{i=1}^{t}a_{i}b_{i}=0}$. ^{[ 5 ]}

Imaginemos que estamos comparando cuatro medias,${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4}}$La siguiente tabla describe tres posibles contrastes:

El primer contraste permite comparar la primera media con la segunda, el segundo contraste permite comparar la tercera media con la cuarta, y el tercer contraste permite comparar el promedio de las dos primeras medias con el promedio de las dos últimas. ^{[ 4 ]}

En un análisis de varianza unidireccional balanceado , el uso de contrastes ortogonales tiene la ventaja de particionar completamente la suma de cuadrados del tratamiento en componentes aditivos no superpuestos que representan la variación debida a cada contraste. ^{[ 6 ]} Consideremos los números anteriores: cada una de las filas suma cero (por lo tanto, son contrastes). Si multiplicamos cada elemento de la primera fila por el elemento correspondiente de la segunda fila y sumamos esos resultados, esto nuevamente da como resultado cero, por lo tanto, el primer y el segundo contraste son ortogonales y así sucesivamente.

• Los contrastes ortogonales son un conjunto de contrastes en los que, para cualquier par distinto, la suma de los productos cruzados de los coeficientes es cero (suponiendo que los tamaños de muestra son iguales). ^{[ 7 ]} Aunque existen conjuntos potencialmente infinitos de contrastes ortogonales, dentro de cualquier conjunto dado siempre habrá un máximo de exactamente k  –  1 posibles contrastes ortogonales (donde k es el número de medias de grupo disponibles). ^{[ 8 ]}
• Los contrastes polinomiales son un conjunto especial de contrastes ortogonales que prueban patrones polinomiales en datos con más de dos medias (por ejemplo, lineal, cuadrática, cúbica, cuártica, etc.). ^{[ 9 ]}
• Los contrastes ortonormales son contrastes ortogonales que satisfacen la condición adicional de que, para cada contraste, la suma de los cuadrados de los coeficientes sea igual a uno. ^{[ 7 ]}

Un contraste se define como la suma de la media de cada grupo multiplicada por un coeficiente para cada grupo (es decir, un número con signo, c _j ). ^{[ 10 ]} En forma de ecuación, ${\displaystyle L=c_{1}{\bar {X}}_{1}+c_{2}{\bar {X}}_{2}+\cdots +c_{k}{\bar {X}}_{k}\equiv \sum _{j}c_{j}{\bar {X}}_{j}}$, donde L es la suma ponderada de las medias de los grupos, los coeficientes c _j representan los pesos asignados a las medias (estos deben sumar 0 para contrastes ortogonales), y${\displaystyle {\bar {X}}}$_j representa las medias de los grupos. ^{[ 8 ]} Los coeficientes pueden ser positivos o negativos, y fracciones o números enteros, según la comparación de interés. Los contrastes lineales son muy útiles y pueden emplearse para probar hipótesis complejas cuando se utilizan junto con ANOVA o regresión múltiple. En esencia, cada contraste define y prueba un patrón particular de diferencias entre las medias. ^{[ 10 ]}

Los contrastes deben construirse "para responder a preguntas de investigación específicas" y no necesariamente tienen que ser ortogonales. ^{[ 11 ]}

Un contraste simple (no necesariamente ortogonal) es la diferencia entre dos medias. Un contraste más complejo puede probar diferencias entre varias medias (por ejemplo, con cuatro medias, asignando coeficientes de –3, –1, +1 y +3), o probar la diferencia entre una sola media y la media combinada de varios grupos (por ejemplo, si tiene cuatro medias, asigne coeficientes de –3, +1, +1 y +1) o probar la diferencia entre la media combinada de varios grupos y la media combinada de varios otros grupos (es decir, con cuatro medias, asigne coeficientes de –1, –1, +1 y +1). ^{[ 8 ]} Los coeficientes para las medias que se van a combinar (o promediar) deben ser iguales en magnitud y dirección, es decir, ponderados por igual. Cuando a las medias se les asignan diferentes coeficientes (ya sea en magnitud o dirección, o ambos), el contraste está probando una diferencia entre esas medias. Un contraste puede ser cualquiera de: el conjunto de coeficientes utilizados para especificar una comparación; el valor específico de la combinación lineal obtenida para un estudio o experimento dado; La cantidad aleatoria definida al aplicar la combinación lineal a los efectos del tratamiento cuando estos se consideran variables aleatorias. En este último contexto, a veces se utiliza el término variable de contraste .

A veces se utilizan contrastes para comparar efectos mixtos . Un ejemplo común es la diferencia entre dos calificaciones de un examen : una al inicio del semestre y otra al final. Cabe destacar que no nos interesa ninguna de estas calificaciones en sí misma, sino únicamente el contraste (en este caso , la diferencia). Dado que se trata de una combinación lineal de variables independientes, su varianza es igual a la suma ponderada de las varianzas de los sumandos; en este caso, ambas ponderaciones son uno. Esta "combinación" de dos variables en una sola puede resultar útil en muchos casos, como en el análisis de varianza (ANOVA) , la regresión o incluso como estadística descriptiva por derecho propio.

Un ejemplo de contraste complejo sería comparar 5 tratamientos estándar con un nuevo tratamiento, asignando a cada media de los tratamientos antiguos un peso de 1/5 y a la media del sexto tratamiento nuevo un peso de −1 (utilizando la ecuación anterior). Si esta nueva combinación lineal tiene una media de cero, significará que no hay evidencia de que los tratamientos antiguos sean diferentes del nuevo tratamiento en promedio. Si la suma de la nueva combinación lineal es positiva, existe cierta evidencia (la fuerza de la evidencia suele estar asociada con el valor p calculado en esa combinación lineal) de que la media combinada de los 5 tratamientos estándar es mayor que la media del nuevo tratamiento. Se obtienen conclusiones análogas cuando la combinación lineal es negativa. ^{[ 10 ]} Sin embargo, la suma de la combinación lineal no es una prueba de significancia; consulte la sección sobre pruebas de significancia (más adelante) para aprender a determinar si el contraste calculado a partir de la muestra es significativo.

Los resultados habituales para combinaciones lineales de variables aleatorias independientes implican que la varianza de un contraste es igual a la suma ponderada de las varianzas. ^{[ 12 ]} Si dos contrastes son ortogonales , las estimaciones creadas mediante dichos contrastes no estarán correlacionadas . Si se dispone de contrastes ortogonales, es posible resumir los resultados de un análisis estadístico en forma de una tabla de análisis de varianza simple, de manera que contenga los resultados de diferentes estadísticos de prueba relacionados con diferentes contrastes, cada uno de los cuales es estadísticamente independiente. Los contrastes lineales se pueden convertir fácilmente en sumas de cuadrados . SS _contraste =${\displaystyle {\tfrac {n(\sum c_{j}{\bar {X}}_{j})^{2}}{\sum c_{j}^{2}}}}$, con 1 grado de libertad , donde n representa el número de observaciones por grupo. Si los contrastes son ortogonales, la suma de los SS _contrastes = SS _tratamiento . Para probar la significancia de un contraste se requiere el cálculo de SS _contraste . ^{[ 8 ]}

_{El contraste} SS también resulta ser un cuadrado medio porque todos los contrastes tienen 1 grado de libertad. Dividiendo${\displaystyle MS_{contraste}}$por${\displaystyle MS_{error}}$produce un estadístico F con uno y${\displaystyle df_{error}}$grados de libertad, la significancia estadística del _contraste F se puede determinar comparando el estadístico F obtenido con un valor crítico de F con los mismos grados de libertad. ^{[ 8 ]}

• Casella, George; Berger, Roger L (2001). Inferencia estadística . Cengage Learning. ISBN 9780534243128.
• George Casella (2008). Diseño estadístico . Springer . ISBN 978-0-387-75965-4.
• Everitt, BS; Skrondal, A (2010). Diccionario de estadística de Cambridge (4.ª  ed.). Cambridge University Press . ISBN 9780521766999.
• Dean, Angela M.; Voss, Daniel (1999). Diseño y análisis de experimentos . Springer . ISBN 9780387985619.

• Ejemplos de contrastes ortogonales para el análisis de varianza
• Análisis de contraste (Abdi y Williams, 2010)