Dinámica de contacto

La dinámica de contacto se ocupa del movimiento de sistemas multicuerpo sometidos a contactos unilaterales y fricción . ^{[ 1 ]} Dichos sistemas son omnipresentes en muchas aplicaciones de dinámica multicuerpo. Consideremos, por ejemplo,

Contactos entre las ruedas y el suelo en la dinámica vehicular.
Chirrido de los frenos debido a oscilaciones inducidas por la fricción.
Movimiento de muchas partículas, esferas que caen en un embudo, procesos de mezcla (medios granulares)
Mecanismos de relojería
Máquinas para caminar
Máquinas arbitrarias con topes de límite, fricción.
Tejidos anatómicos (piel, iris/cristalino, párpados/superficie ocular anterior, cartílagos articulares, endotelio vascular/células sanguíneas, músculos/tendones, etcétera)

A continuación se analiza cómo modelar sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción, y cómo obtener su evolución temporal mediante integración numérica . Además, se incluyen algunos ejemplos.

Modelado

Los dos enfoques principales para modelar sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción son el regularizado y el no suave. A continuación, se presentan ambos enfoques mediante un ejemplo sencillo. Consideremos un bloque que puede deslizarse o adherirse a una mesa (véase la figura 1a). El movimiento del bloque se describe mediante la ecuación de movimiento, mientras que la fuerza de fricción es desconocida (véase la figura 1b). Para obtener la fuerza de fricción, se debe especificar una ley de fuerza independiente que la relacione con la velocidad del bloque.

Figura 1: Bloque que puede deslizarse o adherirse a una mesa. La figura a) muestra el modelo, la figura b) la ecuación de movimiento con fuerza de fricción desconocida.

Enfoque no suave

Un enfoque más sofisticado es el enfoque no suave , que utiliza leyes de fuerza con valores de conjunto para modelar sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción. Consideremos nuevamente el bloque que se desliza o se adhiere a la mesa. La ley de fricción con valores de conjunto asociada, de tipo Sgn, se muestra en la figura 3. En el caso de deslizamiento, la fuerza de fricción está dada. En el caso de adherencia, la fuerza de fricción es con valores de conjunto y se determina según una restricción algebraica adicional .

Figura 3: Ley de fuerza de valores fijos para la fricción

En conclusión, el enfoque no suave modifica la estructura matemática subyacente si es necesario y permite una descripción adecuada de sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción. Como consecuencia de este cambio en la estructura matemática, pueden producirse impactos , y la evolución temporal de las posiciones y velocidades ya no puede considerarse suave . Por lo tanto, es necesario definir ecuaciones y leyes de impacto adicionales. Para abordar este cambio en la estructura matemática, las leyes de fuerza con valores de conjunto se suelen expresar como problemas de desigualdad o inclusión . La evaluación de estas desigualdades/inclusiones se realiza habitualmente resolviendo problemas de complementariedad lineales (o no lineales) , mediante programación cuadrática o transformando los problemas de desigualdad/inclusión en ecuaciones proyectivas que pueden resolverse iterativamente mediante técnicas de Jacobi o Gauss-Seidel . El enfoque no suave proporciona un nuevo método de modelado para sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción, que incorpora además la mecánica clásica completa sujeta a restricciones bilaterales. Este enfoque está asociado a la teoría clásica de ecuaciones diferenciales algebraicas (EDA) y da lugar a esquemas de integración robustos.

Integración numérica

La integración de modelos regularizados puede realizarse mediante solucionadores rígidos estándar para ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, pueden producirse oscilaciones inducidas por la regularización. En el caso de modelos no suaves de sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción, existen dos clases principales de integradores: los integradores basados en eventos y los denominados integradores de paso temporal.

Integradores basados en eventos

Los integradores basados en eventos distinguen entre las partes suaves del movimiento, en las que la estructura subyacente de las ecuaciones diferenciales no cambia, y los eventos o puntos de conmutación, en los que esta estructura cambia; es decir, los instantes en los que se cierra un contacto unilateral o se produce una transición de deslizamiento intermitente. En estos puntos de conmutación, se evalúan las leyes de fuerza (y de impacto adicional) predefinidas para obtener una nueva estructura matemática subyacente sobre la que se puede continuar la integración. Los integradores basados en eventos son muy precisos, pero no son adecuados para sistemas con muchos contactos.

Integradores de avance temporal

Los integradores de paso temporal son esquemas numéricos específicos para sistemas mecánicos con múltiples contactos. El primer integrador de paso temporal fue introducido por J.J. Moreau. Estos integradores no buscan resolver puntos de conmutación y, por lo tanto, son muy robustos en su aplicación. Dado que trabajan con la integral de las fuerzas de contacto y no con las fuerzas en sí, pueden manejar tanto el movimiento como eventos impulsivos como los impactos. Como desventaja, la precisión de los integradores de paso temporal es baja. Esto se puede solucionar mediante un refinamiento del tamaño del paso en los puntos de conmutación. Las partes suaves del movimiento se procesan con pasos mayores, y se pueden utilizar métodos de integración de orden superior para aumentar el orden de integración.

Ejemplos

Esta sección presenta algunos ejemplos de sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción. Los resultados se obtuvieron mediante un enfoque no suave utilizando integradores de discretización temporal.

Materiales granulares

Los métodos de discretización temporal son especialmente adecuados para la simulación de materiales granulares. La figura 4 muestra la simulación de la mezcla de 1000 discos.

De billar

Consideremos dos esferas que colisionan en una partida de billar. La figura 5a muestra algunas instantáneas de las dos esferas colisionando, y la figura 5b representa las trayectorias correspondientes.

Figura 5: a) Instantánea. b) Trayectorias de las dos esferas.

Caballito de una motocicleta

Si la aceleración de un sistema de dos ruedas, como una motocicleta, es suficiente para vencer la fuerza de la gravedad que mantiene una de las ruedas en el suelo, puede realizar una maniobra llamada caballito . La figura 6 muestra algunas instantáneas de una simulación.

Movimiento del juguete del pájaro carpintero

El juguete del pájaro carpintero es un problema de referencia bien conocido en la dinámica de contacto. El juguete consta de un poste, un manguito con un orificio ligeramente mayor que el diámetro del poste, un resorte y el cuerpo del pájaro carpintero. Durante su funcionamiento, el pájaro carpintero se mueve a lo largo del poste realizando un movimiento de cabeceo, controlado por el manguito. La figura 7 muestra algunas instantáneas de una simulación.

Figura 7: Simulación del juguete del pájaro carpintero

Una simulación y visualización se puede encontrar en https://github.com/gabyx/Woodpecker .

Véase también

dinámica multicuerpo
Mecánica de contacto : Aplicaciones con contactos unilaterales y fricción. Aplicaciones estáticas (contacto entre cuerpos deformables) y aplicaciones dinámicas (dinámica de contacto).
Algoritmo de Lubachevsky-Stillinger para simular la compresión de grandes conjuntos de partículas duras.

Referencias

↑ "Contacto en sistemas multicuerpo" (PDF) .

Lecturas adicionales

Acary V. y Brogliato, B. Métodos numéricos para sistemas dinámicos no suaves. Aplicaciones en mecánica y electrónica. Springer Verlag, LNACM 35, Heidelberg, 2008.
Brogliato B. Mecánica no suave. Modelos, dinámica y control. Serie de ingeniería de comunicaciones y control. Springer-Verlag, Londres, 2016 (tercera edición).
Drumwright, E. y Shell, D. Modelado de la fricción de contacto y la fricción articular en la simulación robótica dinámica mediante el principio de máxima disipación. Springer Tracks in Advanced Robotics: Algorithmic Foundations of Robotics IX , 2010.
Glocker, cap. Dynamik von Starrkoerpersystemen mit Reibung und Stoessen , volumen 18/182 de VDI Fortschrittsberichte Mechanik/Bruchmechanik. Editorial VDI, Düsseldorf, 1995
Glocker Ch. y Studer C. Formulación y preparación para la evaluación numérica de sistemas de complementariedad lineal. Dinámica de sistemas multicuerpo 13(4):447-463, 2005
Jean M. El método de dinámica de contacto no suave. Métodos computacionales en mecánica aplicada e ingeniería 177(3-4):235-257, 1999
Moreau JJ. Contacto unilateral y fricción seca en dinámica de libertad finita, volumen 302 de Mecánica no suave y aplicaciones, Cursos y conferencias del CISM . Springer, Viena, 1988.
Pfeiffer F., Foerg M. y Ulbrich H. Aspectos numéricos de la dinámica multicuerpo no suave. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg 195(50-51):6891-6908, 2006
Potra FA, Anitescu M., Gavrea B. y Trinkle J. Un método trapezoidal linealmente implícito para la integración de la dinámica de cuerpos múltiples rígidos con contactos, articulaciones y fricción. Int. J. Numer. Meth. Engng 66(7):1079-1124, 2006
Stewart DE y Trinkle JC Un esquema implícito de discretización temporal para la dinámica de cuerpos rígidos con colisiones inelásticas y fricción de Coulomb. Int. J. Numer. Methods Engineering 39(15):2673-2691, 1996
Studer C. Integración de pasos de tiempo aumentada de sistemas dinámicos no suaves , Tesis doctoral, ETH Zúrich, Colección electrónica de la ETH, de próxima publicación en 2008.
Studer C. Métodos numéricos para contactos unilaterales y fricción: modelado e integración numérica en el tiempo en dinámica no suave , Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, Volumen 47, Springer, Berlín, Heidelberg, 2009.

Enlaces externos

Grupo de investigación de sistemas multicuerpo , Centro de Mecánica, ETH Zúrich.
Lehrstuhl für angewandte Mechanik TU Munich.
Equipo BiPoP , INRIA Ródano-Alpes, Francia,
Software Siconos . Un software de código abierto dedicado al modelado y la simulación de sistemas dinámicos no suaves, especialmente sistemas mecánicos con contacto y fricción de Coulomb.
Dinámica multicuerpo , Instituto Politécnico Rensselaer.
Software dynamY
Software LMGC90
Software MigFlow
Software Solfec
GRSFramework, marco de simulación de cuerpos rígidos granulares desarrollado en IMES en el grupo de Ch. Glocker (Computación de alto rendimiento con MPI), 2016.
Chrono , un motor de simulación multifísica de código abierto, véase también el sitio web del proyecto 2017.

[1] "Contacto en sistemas multicuerpo" (PDF) .

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