Conifold

En matemáticas y teoría de cuerdas , un conifold es una generalización de una variedad . A diferencia de las variedades, los conifold pueden contener singularidades cónicas , es decir, puntos cuyos vecindarios parecen conos sobre una base determinada. En física , en particular en las compactificaciones de flujo de la teoría de cuerdas , la base suele ser una variedad real de cinco dimensiones , ya que los conifolds considerados típicamente son espacios complejos tridimensionales (reales de seis dimensiones).

Los conifolds son objetos importantes en la teoría de cuerdas : Brian Greene explica la física de los conifolds en el Capítulo 13 de su libro The Elegant Universe —incluyendo el hecho de que el espacio puede rasgarse cerca del cono, y su topología puede cambiar. Esta posibilidad fue advertida por primera vez por Candelas et al. (1988) y empleada por Green & Hübsch (1988) para demostrar que los conifolds proporcionan una conexión entre todas las compactificaciones de Calabi-Yau (entonces) conocidas en la teoría de cuerdas; esto apoya parcialmente una conjetura de Reid (1987) por la cual los conifolds conectan todos los posibles espacios tridimensionales complejos de Calabi-Yau.

Un ejemplo bien conocido de un conifold se obtiene como límite de deformación de una ecuación quíntica, es decir, una hipersuperficie quíntica en el espacio proyectivo . El espacio tiene dimensión compleja igual a cuatro y, por lo tanto, el espacio está definido por las ecuaciones quínticas (de grado cinco): ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{4}}$

${\displaystyle z_{1}^{5}+z_{2}^{5}+z_{3}^{5}+z_{4}^{5}+z_{5}^{5}-5\ psi z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}z_{5}=0}$

en términos de coordenadas homogéneas en , para cualquier complejo fijo , tiene dimensión compleja tres. Esta familia de hipersuperficies quínticas es el ejemplo más famoso de variedades de Calabi-Yau . Si se elige que el parámetro de estructura compleja sea igual a uno, la variedad descrita anteriormente se vuelve singular ya que las derivadas del polinomio quíntico en la ecuación se anulan cuando todas las coordenadas son iguales o sus razones son ciertas raíces quintas de la unidad. La vecindad de este punto singular se parece a un cono cuya base es topológicamente justa. $estilo de visualización z_{i}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{4}}$${\estilo de visualización \psi}$ ${\estilo de visualización \psi}$$estilo de visualización z_{i}}$

${\displaystyle S^{2}\times S^{3}}$

En el contexto de la teoría de cuerdas , se puede demostrar que los conifolds geométricamente singulares conducen a una física de cuerdas completamente uniforme. Las divergencias están "difuminadas" por las D3-branas envueltas en la esfera tridimensional en contracción en la teoría de cuerdas de tipo IIB y por las D2-branas envueltas en la esfera bidimensional en contracción en la teoría de cuerdas de tipo IIA , como señaló originalmente Strominger (1995). Como demostraron Greene, Morrison y Strominger (1995), esto proporciona la descripción teórica de cuerdas del cambio de topología a través de la transición de conifold descrita originalmente por Candelas, Green y Hübsch (1990), quienes también inventaron el término "conifold" y el diagrama

para este propósito. Se muestra que las dos formas topológicamente distintas de suavizar un conifold implican reemplazar el vértice singular (nodo) por una 3-esfera (a modo de deformar la estructura compleja) o una 2-esfera (a modo de una "resolución pequeña"). Se cree que casi todas las variedades de Calabi-Yau se pueden conectar a través de estas "transiciones críticas", lo que coincide con la conjetura de Reid.

• Candelas, Philip; Dale, AM; Lutken, Andrew; Schimmrigk, Rolf (1988), "Variedades de Calabi-Yau de intersección completa", Nuclear Physics B , 298 (3): 493–525, Bibcode :1988NuPhB.298..493C, doi :10.1016/0550-3213(88)90352-5
• Reid, Miles (1987), "El espacio de módulos de 3 pliegues con K=0 puede, sin embargo, ser irreducible", Mathematische Annalen , 278 (1–4): 329–334, doi :10.1007/bf01458074, S2CID  120390363
• Green, Paul; Hübsch, Tristan (1988), "Conexión de espacios de módulos de tripletas de Calabi-Yau", Communications in Mathematical Physics , 119 (3): 431–441, Bibcode :1988CMaPh.119..431G, doi :10.1007/BF01218081, S2CID  119452483
• Candelas, Philip; Green, Paul; Hübsch, Tristan (1990), "Rodando entre vacíos de Calabi-Yau", Física nuclear B , 330 (1): 49–102, Bibcode :1990NuPhB.330...49C, doi :10.1016/0550-3213(90)90302-T
• Strominger, Andrew (1995), "Agujeros negros sin masa y conifolds en la teoría de cuerdas", Nuclear Physics B , 451 (1–2): 96–108, arXiv : hep-th/9504090 , Bibcode :1995NuPhB.451...96S, doi :10.1016/0550-3213(95)00287-3, S2CID  6035714
• Greene, Brian; Morrison, David; Strominger, Andrew (1995), "Condensación de agujeros negros y la unificación de vacíos de cuerdas", Nuclear Physics B , 451 (1–2): 109–120, arXiv : hep-th/9504145 , Bibcode :1995NuPhB.451..109G, doi :10.1016/0550-3213(95)00371-X, S2CID  11145691

• Hübsch, Tristan (1994), Variedades de Calabi-Yau: un bestiario para físicos, Singapur, Nueva York: World Scientific , ISBN 981-02-1927-X, OCLC  34989218, archivado desde el original el 13 de enero de 2010 , consultado el 25 de febrero de 2010
• Gross, Mark (1997), "Triples primitivos de Calabi-Yau", Journal of Differential Geometry , 45 (2): 288–318, arXiv : alg-geom/9512002 , Bibcode :1995alg.geom.12002G, doi :10.4310/jdg/1214459799, S2CID  18223199
• Greene, Brian (1997), "Teoría de cuerdas en variedades de Calabi-Yau", arXiv : hep-th/9702155
• Greene, Brian (2003), El universo elegante , WW Norton & Co., ISBN 0-393-05858-1
• Hübsch, Tristan "Conifolds y 'La (Real Worlds-Wide-)Web'" (2009), "Conifolds y 'La (Real Worlds-Wide-)Web'" (2022)