colector plano conforme

Una variedad ( pseudo ) riemanniana es conformemente plana si cada punto tiene un entorno que puede ser mapeado al espacio plano mediante una transformación conforme .

En la práctica, el tensor métrico${\displaystyle g}$del colector${\displaystyle M}$debe ser conforme al tensor métrico plano${\displaystyle \eta }$, es decir, las geodésicas se mantienen en todos los puntos de${\displaystyle M}$los ángulos al pasar de uno a otro, así como manteniendo las geodésicas nulas sin cambios, ^{[ 1 ]} eso significa que existe una función${\displaystyle \lambda (x)}$de tal manera que${\displaystyle g(x)=\lambda ^{2}(x)\,\eta }$, dónde${\displaystyle \lambda (x)}$se conoce como el factor conforme y${\displaystyle x}$es un punto en el colector.

Más formalmente, dejemos${\displaystyle (M,g)}$sea ​​una variedad pseudoriemanniana. Entonces${\displaystyle (M,g)}$es conformemente plano si para cada punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle M}$, existe un vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle x}$y un funcionamiento suave${\displaystyle f}$definido en${\displaystyle U}$de tal manera que${\displaystyle (U,e^{2f}g)}$es plano (es decir, la curvatura de${\displaystyle e^{2f}g}$desaparece en${\displaystyle U}$). La función${\displaystyle f}$no es necesario que se defina en todos los${\displaystyle M}$.

Algunos autores utilizan la definición de plano conforme local cuando se refieren solo a algún punto.${\displaystyle x}$en${\displaystyle M}$y reservar la definición de conformemente plano para el caso en que la relación sea válida para todos${\displaystyle x}$en${\displaystyle M}$.

• Toda variedad con curvatura seccional constante es conformemente plana.
• Toda variedad pseudoriemanniana bidimensional es conformemente plana. ^{[ 1 ]}
  • El elemento de línea de las coordenadas esféricas bidimensionales, como el que se utiliza en el sistema de coordenadas geográficas ,${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$, ^{[ 2 ]} tiene tensor métrico${\displaystyle \textstyle g_{ik}=\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{smallmatrix}}\right]}$ y no es plano, pero con la proyección estereográfica se puede mapear a un espacio plano usando el factor conforme.${\displaystyle \textstyle {\frac {2}{1+r^{2}}}}$, dónde${\displaystyle r}$es la distancia desde el origen del espacio plano, ^{[ 3 ]} obteniendo${\displaystyle \textstyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,={\frac {4}{(1+r^{2})^{2}}}(dx^{2}+dy^{2})}$.
• Una variedad pseudoriemanniana tridimensional es conformemente plana si y solo si el tensor de Cotton se anula.
• Una variedad pseudoriemanniana n -dimensional para n ≥ 4 es conformemente plana si y solo si el tensor de Weyl se anula.
• Toda variedad riemanniana euclidiana compacta , simplemente conexa y conforme es conformemente equivalente a la esfera redonda . ^{[ 4 ]}

• La proyección estereográfica proporciona un sistema de coordenadas para la esfera en el que la planitud conforme es explícita, ya que la métrica es proporcional a la plana.

• En relatividad general , las variedades conformemente planas se utilizan a menudo, por ejemplo, para describir la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker . ^{[ 5 ]} Sin embargo, esto no siempre es posible, como en el caso de la métrica de Kerr , que no admite secciones conformemente planas. ^{[ 6 ]}

Un ejemplo de métrica conformemente plana se puede obtener transformando las coordenadas de Kruskal-Szekeres para la métrica de Schwarzschild , que tienen un elemento de línea.${\displaystyle \textstyle ds^{2}=\left(1-{2GM}/{r}\right)dv\,du}$ con tensor métrico${\displaystyle \textstyle g_{ik}=\left[{\begin{smallmatrix}0&1-{2GM}/{r}\\1-{2GM}/{r}&0\end{smallmatrix}}\right]}$y por lo tanto no es plano. Pero con las transformaciones${\displaystyle t=(v+u)/2}$y${\displaystyle x=(vu)/2}$se convierte${\displaystyle \textstyle ds^{2}=\left(1-{2GM}/{r}\right)(dt^{2}-dx^{2})}$con tensor métrico${\displaystyle \textstyle g_{ik}=\left[{\begin{smallmatrix}1-{2GM}/{r}&0\\0&-1+{2GM}/{r}\end{smallmatrix}}\right]}$, que es la métrica plana multiplicada por el factor conforme${\displaystyle \textstyle 1-{2GM}/{r}}$. ^{[ 7 ]}

• Teorema de Weyl-Schouten
• Geometría conforme
• Problema de Yamabe