Ley de covarianza total

En teoría de la probabilidad , la ley de covarianza total , ^{[ 1 ]} fórmula de descomposición de la covarianza , o fórmula de covarianza condicional establece que si X , Y y Z son variables aleatorias en el mismo espacio de probabilidad , y la covarianza de X e Y es finita, entonces

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (\operatorname {cov} (X,Y\mid Z))+\operatorname {cov} (\operatorname {E} (X\mid Z),\operatorname {E} (Y\mid Z)).}$

La nomenclatura del título de este artículo es paralela a la frase ley de la varianza total . Algunos autores sobre probabilidad la denominan " fórmula de covarianza condicional " ^{[ 2 ]} o utilizan otros nombres.

Nota: Los valores esperados condicionales E( X | Z ) y E( Y | Z ) son variables aleatorias cuyos valores dependen del valor de Z. Nótese que el valor esperado condicional de X dado el evento Z = z es una función de z . Si escribimos E( X | Z = z ) = g ( z ), entonces la variable aleatoria E( X | Z ) es g ( Z ). Comentarios similares se aplican a la covarianza condicional.

La ley de covarianza total se puede demostrar utilizando la ley de esperanza total : Primero,

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]}$

a partir de una identidad estándar simple sobre covarianzas. Luego aplicamos la ley de la esperanza total condicionando sobre la variable aleatoria Z :

${\displaystyle =\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [XY\mid Z]{\big ]}-\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [X\mid Z]{\big ]}\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}}$

Ahora reescribimos el término dentro de la primera esperanza utilizando la definición de covarianza:

${\displaystyle =\operatorname {E} \!{\big [}\operatorname {cov} (X,Y\mid Z)+\operatorname {E} [X\mid Z]\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}-\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [X\mid Z]{\big ]}\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}}$

Dado que la esperanza de una suma es la suma de las esperanzas, podemos reagrupar los términos:

${\displaystyle =\operatorname {E} \!{\big [}\operatorname {cov} (X,Y\mid Z){\big ]}+\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [X\mid Z]\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}-\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [X\mid Z]{\big ]}\operatorname {E} {\big [}\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big ]}}$

Finalmente, reconocemos los dos últimos términos como la covarianza de las esperanzas condicionales E[ X  | Z ] y E[ Y | Z ]:   

${\displaystyle =\operatorname {E} {\big [}\operatorname {cov} (X,Y\mid Z){\big ]}+\operatorname {cov} {\big (}\operatorname {E} [X\mid Z],\operatorname {E} [Y\mid Z]{\big )}}$

• Ley de la varianza total , un caso especial correspondiente a X = Y.   
• Ley de la acumulación total , de la cual la ley de la covarianza total es un caso especial.