Cociente completo

En la teoría métrica de fracciones continuas regulares , el k -ésimo cociente completo ζ _k se obtiene ignorando los primeros k denominadores parciales a _i . Por ejemplo, si una fracción continua regular está dada por

x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}},

Entonces, los cocientes completos sucesivos ζ _k vienen dados por

{\begin{aligned}\zeta _{0}&=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]\\\zeta _{1}&=[a_{1};a_{2},a_{3},a_{4},\dots ]\\\zeta _{2}&=[a_{2};a_{3},a_{4},a_{5},\dots ]\\\zeta _{k}&=[a_{k};a_{k+1},a_{k+2},a_{k+3},\dots ].\,\end{aligned}}

Una relación recursiva

De la definición dada anteriormente podemos deducir inmediatamente que

\zeta _{k}=a_{k}+{\frac {1}{\zeta _{k+1}}}=[a_{k};\zeta _{k+1}],\,

o, equivalentemente,

\zeta _{k+1}={\frac {1}{\zeta _{k}-a_{k}}}.\,

Cocientes completos y convergentes de x

Denotando las convergentes sucesivas de la fracción continua regular x = [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , …] por A ₀ , A ₁ / B ₁ , A ₂ / B ₂ , … (como se explica más detalladamente en el artículo fórmulas de recurrencia fundamentales ), se puede demostrar que

x={\frac {A_{k}\zeta _{k+1}+A_{k-1}}{B_{k}\zeta _{k+1}+B_{k-1}}}\,

para todo k ≥ 0.

Este resultado se puede comprender mejor recordando que las convergentes sucesivas de una fracción continua regular infinita se aproximan al valor x en una especie de patrón en zigzag:

A_{0}<{\frac {A_{2}}{B_{2}}}<{\frac {A_{4}}{B_{4}}}<\cdots <{\frac {A_{2n}}{B_{2n}}}<x<{\frac {A_{2n+1}}{B_{2n+1}}}<\cdots <{\frac {A_{5}}{B_{5}}}<{\frac {A_{3}}{B_{3}}}<{\frac {A_{1}}{B_{1}}}.\,

de modo que cuando k es par tenemos A _k / B _k < x < A _k₊₁ / B _k₊₁ , y cuando k es impar tenemos A _k₊₁ / B _k₊₁ < x < A _k / B _k . En cualquier caso, el k + 1.er cociente completo ζ _k₊₁ es el único número real que expresa x en forma de semiconvergente .

Cocientes completos y números reales equivalentes

Una relación de equivalencia definida por transformaciones fraccionarias lineales.

Consideremos el conjunto de transformaciones fraccionarias lineales (TFL) definidas por

f(x)={\frac {a+bx}{c+dx}}\,

donde a , b , c y d son enteros y ad − bc = ±1. Dado que este conjunto de LFT contiene un elemento identidad (0 + x )/1, y dado que es cerrado bajo la composición de funciones , y cada miembro del conjunto tiene un inverso en el conjunto, estos LFT forman un grupo (la operación de grupo es la composición de funciones), GL(2, Z ) .

Podemos definir una relación de equivalencia en el conjunto de los números reales mediante este grupo de transformaciones fraccionarias lineales. Diremos que dos números reales x e y son equivalentes (escrito x ~ y ) si

y=f(x)={\frac {a+bx}{c+dx}}\,

para algunos enteros a , b , c y d tales que ad − bc = ±1.

Es evidente que esta relación es simétrica, reflexiva y transitiva, por lo que se trata de una relación de equivalencia que puede utilizarse para clasificar los números reales en clases de equivalencia . Todos los números racionales son equivalentes, puesto que cada número racional es equivalente a cero. ¿Qué ocurre con los números irracionales ? ¿También pertenecen a una única clase de equivalencia?

Un teorema sobre números irracionales "equivalentes"

Dos números irracionales x e y son equivalentes bajo este esquema si y solo si las "colas" infinitamente largas en sus expansiones como fracciones continuas regulares son exactamente iguales. Más precisamente, se puede demostrar el siguiente teorema.

Sean x e y dos números irracionales (reales), y denotemos el k -ésimo cociente completo en las expansiones regulares en fracciones continuas de x e y por ζ _k y ψ _k , respectivamente. Entonces x ~ y (bajo la equivalencia definida en la sección anterior) si y solo si existen enteros positivos m y n tales que ζ _m = ψ _n .

Un ejemplo

La proporción áurea φ es el número irracional con la expansión más simple posible como fracción continua regular: φ = [1; 1, 1, 1, …]. El teorema nos dice primero que si x es cualquier número real cuya expansión como fracción continua regular contiene la cadena infinita [1, 1, 1, 1, …], entonces existen enteros a , b , c y d (con ad − bc = ±1) tales que

x={\frac {a+b\phi }{c+d\phi }}.\,

Por el contrario, si a , b , c y d son enteros (con ad − bc = ±1), entonces la expansión en fracción continua regular de cada número real y que puede expresarse en la forma

y={\frac {a+b\phi }{c+d\phi }}\,

Finalmente llega a una "cola" que se parece a la fracción continua regular de φ.

Referencias

Rockett, Andrew M.; Szüsz, Peter (1992). Fracciones continuas . World Scientific. págs. 4–8 . ISBN 981-02-1052-3.