Teorema de equivalencia de la brújula

En geometría , el teorema de equivalencia de compás es una afirmación importante en las construcciones con compás y regla . La herramienta defendida por Platón en estas construcciones es un compás divisor o plegable , es decir, un compás que "colapsa" cada vez que se levanta de una página, de modo que no puede usarse directamente para transferir distancias. El compás moderno con su apertura fijable puede usarse para transferir distancias directamente y, por lo tanto, parece ser un instrumento más poderoso. Sin embargo, el teorema de equivalencia de compás establece que cualquier construcción mediante un "brújula moderna" puede lograrse con un compás plegable. Esto se puede demostrar estableciendo que con un compás plegable, dado un círculo en el plano, es posible construir otro círculo de radio igual , centrado en cualquier punto dado en el plano. Este teorema es la Proposición II del Libro I de los Elementos de Euclides . La prueba de este teorema ha tenido una historia accidentada. ^[1]

La siguiente construcción y prueba de corrección son dadas por Euclides en sus Elementos . ^[2] Aunque parece haber varios casos en el tratamiento de Euclides, dependiendo de las elecciones hechas al interpretar instrucciones ambiguas, todas conducen a la misma conclusión, ^[1] y por eso, a continuación se dan opciones específicas.

Dados los puntos A , B y C , construya un círculo centrado en A con un radio de longitud BC (es decir, equivalente al círculo verde sólido, pero centrado en A ).

• Dibuje un círculo centrado en A y que pase por B y viceversa (los círculos rojos). Se intersectarán en el punto D y formarán el triángulo equilátero △ ABD .
• Extiende DB más allá de B y encuentra la intersección de DB y el círculo ◯ BC , etiquetado E .
• Crea un círculo centrado en D y que pase por E (el círculo azul).
• Extiende DA más allá de A y encuentra la intersección de DA y el círculo ◯ DE , etiquetado F .
• Construya un círculo centrado en A y que pase por F (el círculo verde punteado)
• Como △ ADB es un triángulo equilátero, DA = DB .
• Como E y F están en un círculo alrededor de D , DE = DF .
• Por lo tanto, AF = BE .
• Como E está en el círculo ◯ BC , BE = BC .
• Por lo tanto, AF = BC .

Es posible demostrar la equivalencia de compás sin el uso de la regla. Esto justifica el uso de movimientos de "compás fijo" (construir un círculo de un radio dado en una ubicación diferente) en las demostraciones del teorema de Mohr-Mascheroni , que establece que cualquier construcción posible con regla y compás se puede lograr solo con compás.

Dados los puntos A , B y C , construya un círculo centrado en A con radio BC , utilizando únicamente un compás plegable y sin regla.

• Dibuje un círculo centrado en A que pase por B y viceversa (los círculos azules). Se intersectarán en los puntos D y D' .
• Dibuje círculos a través de C con centros en D y D' (los círculos rojos). Etiquete su otra intersección como E.
• Dibuje un círculo (el círculo verde) cuyo centro A pase por E. Este es el círculo requerido. ^{[3] [4]}

Hay varias pruebas de la corrección de esta construcción y a menudo se deja como ejercicio para el lector. ^{[3] [4]} Aquí hay una moderna que utiliza transformaciones .

• La línea DD' es la bisectriz perpendicular de AB . Por lo tanto, A es la reflexión de B a través de la línea DD' .
• Por construcción, E es la reflexión de C a través de la línea DD' .
• Como la reflexión es una isometría , se deduce que AE = BC como se desea.