grupo cuántico compacto

En matemáticas , los grupos cuánticos compactos son generalizaciones de grupos compactos , donde la conmutatividad $\mathrm {C} ^{*}$ El álgebra de funciones continuas con valores complejos en un grupo compacto se generaliza a una estructura abstracta en una unidad no necesariamente conmutativa. $\mathrm {C} ^{*}$ -álgebra, que desempeña el papel de "álgebra de funciones continuas de valor complejo en el grupo cuántico compacto". ^{[ 1 ]}

La motivación básica de esta teoría proviene de la siguiente analogía. El espacio de funciones con valores complejos en un espacio topológico compacto de Hausdorff forma un álgebra C* conmutativa . Por otro lado, según el teorema de Gelfand , un álgebra C* conmutativa es isomorfa al álgebra C* de funciones continuas con valores complejos en un espacio topológico compacto de Hausdorff, y el espacio topológico está determinado unívocamente por el álgebra C* salvo homeomorfismo .

SL Woronowicz ^{[ 2 ]} introdujo el importante concepto de grupos cuánticos matriciales compactos , que inicialmente denominó pseudogrupos compactos . Los grupos cuánticos matriciales compactos son estructuras abstractas en las que las "funciones continuas" sobre la estructura están dadas por elementos de un álgebra C*. La geometría de un grupo cuántico matricial compacto es un caso especial de una geometría no conmutativa .

Formulación

Para un grupo topológico compacto , $G$ , existe un homomorfismo de C*-álgebra

\Delta :C(G)\to C(G)\otimes C(G)

donde $C (G) \otimes C (G)$ es el producto tensorial mínimo de C*-álgebra —la completación del producto tensorial algebraico de $C (G)$ y $C (G)$ — tal que

\Delta (f)(x,y)=f(xy)

a pesar de $f\in C(G)$ y para todos $x,y\in G$ , dónde

(f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)

a pesar de $f,g\in C(G)$ y todo $x,y\in G$ También existe una aplicación multiplicativa lineal.

\kappa :C(G)\to C(G)

,

de tal manera que

\kappa (f)(x)=f(x^{-1})

a pesar de $f\in C(G)$ y todo $x\in G$ . Estrictamente hablando, esto no convierte $a C (G)$ en un álgebra de Hopf , a menos que $G$ sea finito.

Por otro lado, una representación de dimensión finita de $G$ puede usarse para generar una *-subálgebra de $C (G)$ que también es un *-álgebra de Hopf. Específicamente, si

g\mapsto (u_ {ij} (g)) _ {i, j}

es una representación $n -dimensional de$ $G$ , entonces

u_{ij}\in C(G)

para todo $i, j$ y

\Delta (u_ {ij}) = \ sum _ {k} u_ {ik} \ otimes u_ {kj}

para todo $i, j$ . De ello se deduce que el *-álgebra generada por $u_{ij}$ para todo $i, j$ y $\kappa (u_ {ij})$ para todo $i, j$ es un álgebra de Hopf *: la counidad está determinada por

\epsilon (u_ {ij}) = \ delta _ {ij}

a pesar de $i,j$ (dónde $\delta _{ij}$ es la delta de Kronecker ), el antípoda es $κ$ y la unidad viene dada por

1=\sum _ {k}u_ {1k} \ kappa (u_ {k1}) = \ sum _ {k} \ kappa (u_ {1k}) u_ {k1}.

grupos cuánticos de matriz compacta

Como generalización, un grupo cuántico de matriz compacta se define como un par $(C, u)$ , donde $C$ es un álgebra C* y

u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots,n}

es una matriz con entradas en $C$ tales que

La *-subálgebra, $C 0$ , de $C$ , que es generada por los elementos de matriz de $u$ , es densa en $C$ ;
Existe un homomorfismo de C*-álgebra, llamado comultiplicación, $Δ : C \to C \otimes C$ (donde $C \otimes C$ es el producto tensorial de C*-álgebra, la completación del producto tensorial algebraico de $C$ y $C$ ) tal que

\forall i,j:\qquad \Delta (u_ {ij})=\sum _ {k}u_ {ik}\otimes u_ {kj};

Existe una aplicación antimultiplicativa lineal, llamada coinversa, $κ : C 0 \to C 0$ tal que $\kappa (\kappa (v*)*)=v$ a pesar de $v\in C_{0}$ y $\sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,$ donde $I$ es el elemento identidad de $C.$ Dado que $κ$ es antimultiplicativo, $κ (vw) = κ (w) κ (v)$ para todo $v,w\in C_{0}$ .

Como consecuencia de la continuidad, la comultiplicación en $C$ es coasociativa.

En general, $C$ es un álgebra biálgebra, y $C 0$ es un álgebra de Hopf *.

De manera informal, $C$ puede considerarse como el *-álgebra de funciones continuas de valor complejo sobre el grupo cuántico de matrices compactas, y $u$ puede considerarse como una representación de dimensión finita del grupo cuántico de matrices compactas.

grupos cuánticos compactos

Para las C*-álgebras $A$ y $B$ que actúan sobre los espacios de Hilbert $H$ y $K$ respectivamente, su producto tensorial mínimo se define como la completación de la norma del producto tensorial algebraico $A \otimes B$ en $B (H \otimes K)$ ; la completación de la norma también se denota por $A \otimes B$ .

Un grupo cuántico compacto ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} se define como un par $(C, Δ)$ , donde $C$ es un álgebra C*-unitaria y

$Δ : C \to C \otimes C$ es un *-homomorfismo unitario que satisface $(Δ \otimes id) Δ = (id \otimes Δ) Δ$ ;
Los conjuntos ${(C \otimes 1) Δ(C)}$ y ${(1 \otimes C) Δ(C)}$ son densos en $C \otimes C$ .

Representaciones

Una representación del grupo cuántico de matrices compactas viene dada por una correpresentación del álgebra * de Hopf ^{[ 5 ]} Además, una representación, v , se denomina unitaria si la matriz para v es unitaria, o equivalentemente, si

\forall i,j:\qquad \kappa (v_{ij})=v_{ji}^{*}.

Ejemplo

Un ejemplo de un grupo cuántico de matriz compacta es $SU μ (2)$ , ^{[ 6 ]} donde el parámetro $μ$ es un número real positivo.

Primera definición

$SU μ (2) = (C (SU μ (2)), u)$ , donde $C (SU μ (2))$ es el álgebra C* generada por $α$ y $γ$ , sujeta a

\gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,\ \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,\ \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,

y

u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),

de modo que la comultiplicación se determina por $\Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\gamma \otimes \gamma ^{*},\Delta (\gamma )=\alpha \otimes \gamma +\gamma \otimes \alpha ^{*}$ y la contraparte está determinada por $\kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\gamma )=-\mu ^{-1}\gamma ,\kappa (\gamma ^{*})=-\mu \gamma ^{*},\kappa (\alpha ^{*})=\alpha$ Nótese que $u$ es una representación, pero no una representación unitaria . $u$ es equivalente a la representación unitaria.

v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).

Segunda definición

$SU μ (2) = (C (SU μ (2)), w)$ , donde $C (SU μ (2))$ es el álgebra C* generada por $α$ y $β$ , sujeta a

\beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,\ \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,\ \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,

y

w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),

de modo que la comultiplicación se determina por $\Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\mu \beta \otimes \beta ^{*},\Delta (\beta )=\alpha \otimes \beta +\beta \otimes \alpha ^{*}$ y la contraparte está determinada por $\kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\beta )=-\mu ^{-1}\beta ,\kappa (\beta ^{*})=-\mu \beta ^{*}$ , $\kappa (\alpha ^{*})=\alpha$ . Nótese que $w$ es una representación unitaria. Las realizaciones se pueden identificar igualando $\gamma ={\sqrt {\mu }}\beta$ .

caso límite

Si $μ = 1$ , entonces $SU μ (2)$ es igual al grupo compacto concreto $SU(2)$ .

Referencias

↑ Banica, Teo (2023). Introducción a los grupos cuánticos . Springer. ISBN 978-3-031-23816-1.
↑ Woronowicz, SL "Compact Matrix Pseudogroups", Commun. Math. Phys. 111 (1987), 613-665
↑ Woronowicz, SL "Grupos cuánticos compactos". Notas de https://www.fuw.edu.pl/~slworono/PDF-y/CQG3.pdf
↑ van Daele, A. y Maes, Ann. "Notas sobre grupos cuánticos compactos", arXiv:math/9803122
↑ una correpresentación de una coálgebra coasiativa counitaria $A$ es una matriz cuadrada
$v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$
con entradas en $A$ (de modo que $v \in M(n, A)$ ) tales que
$\forall i,j:\qquad \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}$
$\forall i,j:\qquad \epsilon (v_{ij})=\delta _{ij}.$
↑ van Daele, A. y Wang, S. "Grupos cuánticos universales" Int. J. Math. (1996), 255-263.

[1] Banica, Teo (2023). Introducción a los grupos cuánticos . Springer. ISBN 978-3-031-23816-1.

[2] Woronowicz, SL "Compact Matrix Pseudogroups", Commun. Math. Phys. 111 (1987), 613-665

[3] Woronowicz, SL "Grupos cuánticos compactos". Notas de https://www.fuw.edu.pl/~slworono/PDF-y/CQG3.pdf

[4] van Daele, A. y Maes, Ann. "Notas sobre grupos cuánticos compactos", arXiv:math/9803122

[5] una correpresentación de una coálgebra coasiativa counitaria $A$ es una matriz cuadrada
$v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$
con entradas en $A$ (de modo que $v \in M(n, A)$ ) tales que
$\forall i,j:\qquad \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}$
$\forall i,j:\qquad \epsilon (v_{ij})=\delta _{ij}.$

[6] van Daele, A. y Wang, S. "Grupos cuánticos universales" Int. J. Math. (1996), 255-263.

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