Proceso de recolección de conmutadores

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , el proceso de recolección de conmutadores es un método para escribir un elemento de un grupo como un producto de generadores y sus conmutadores superiores dispuestos en un orden determinado. El proceso de recolección de conmutadores fue introducido por Philip Hall en 1934 ^[1] y articulado por Wilhelm Magnus en 1937. ^[2] El proceso a veces se denomina "proceso de recolección".

El proceso se puede generalizar para definir un subconjunto totalmente ordenado de un álgebra libre no asociativa, es decir, un magma libre ; este subconjunto se denomina conjunto de Hall . Los miembros del conjunto de Hall son árboles binarios ; estos se pueden colocar en correspondencia uno a uno con palabras, a las que se denomina palabras de Hall ; las palabras de Lyndon son un caso especial. Los conjuntos de Hall se utilizan para construir una base para un álgebra de Lie libre , de forma completamente análoga al proceso de recolección de conmutadores. Las palabras de Hall también proporcionan una factorización única de monoides .

El proceso de recolección de conmutadores generalmente se enuncia para grupos libres , ya que un teorema similar se cumple para cualquier grupo al escribirlo como un cociente de un grupo libre.

Supóngase que F ₁ es un grupo libre de generadores a ₁ , ...,  a _m . Defina la serie central descendente poniendo

F _{n + 1}  = [ F _n ,  F ₁ ]

Los conmutadores básicos son elementos de F ₁ definidos y ordenados de la siguiente manera:

• Los conmutadores básicos de peso 1 son los generadores a ₁ , ...,  a _m .
• Los conmutadores básicos de peso w  > 1 son los elementos [ x ,  y ] donde x e y son conmutadores básicos cuyos pesos suman w , tal que x  >  y y si x  = [ u ,  v ] para los conmutadores básicos u y v entonces v  ≤  y .

Los conmutadores se ordenan de modo que x  >  y si x tiene un peso mayor que el de y , y para conmutadores de cualquier peso fijo se elige algún orden total.

Entonces F _n / F _{n +1} es un grupo abeliano libre generado finitamente con una base que consiste en conmutadores básicos de peso  n .

Entonces cualquier elemento de F puede escribirse como

${\displaystyle g=c_{1}^{n_{1}}c_{2}^{n_{2}}\cdots c_{k}^{n_{k}}c}$

donde c _i son los conmutadores básicos de peso como máximo m dispuestos en orden, y c es un producto de conmutadores de peso mayor que m , y los n _i son números enteros .

• Identidad Hall-Petresco
• Factorización monoide

• Hall, Marshall (1959), La teoría de grupos , Macmillan, MR  0103215
• Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (en alemán), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 90–93, ISBN 978-3-540-03825-2, MR  0224703, OCLC  527050