Conmutatividad de la conjunción

En lógica proposicional , la conmutatividad de la conjunción es una forma de argumento válida y una tautología veritativo-funcional . Se considera una ley de la lógica clásica . Es el principio según el cual los conjuntivos de una conjunción lógica pueden intercambiarse entre sí, mientras se preserva el valor de verdad de la proposición resultante. ^[1]

La conmutatividad de la conjunción se puede expresar en notación secuencial como:

${\displaystyle (P\land Q)\vdash (Q\land P)}$

y

${\displaystyle (Q\land P)\vdash (P\land Q)}$

donde es un símbolo metalógico que significa que es una consecuencia sintáctica de , en un caso, y es una consecuencia sintáctica de en el otro, en algún sistema lógico ; ${\estilo de visualización \vdash}$${\displaystyle (Q\land P)}$${\displaystyle (P\land Q)}$${\displaystyle (P\land Q)}$${\displaystyle (Q\land P)}$

o en forma de regla :

${\displaystyle {\frac {P\land Q}{\por lo tanto Q\land P}}}$

y

${\displaystyle {\frac {Q\land P}{\por lo tanto P\land Q}}}$

donde la regla es que siempre que aparezca una instancia de " " en una línea de una prueba, se puede reemplazar con " " y siempre que aparezca una instancia de " " en una línea de una prueba, se puede reemplazar con " "; ${\displaystyle (P\land Q)}$${\displaystyle (Q\land P)}$${\displaystyle (Q\land P)}$${\displaystyle (P\land Q)}$

o como el enunciado de una tautología veritativo-funcional o teorema de lógica proposicional:

${\displaystyle (P\land Q)\to (Q\land P)}$

y

${\displaystyle (Q\land P)\to (P\land Q)}$

donde y son proposiciones expresadas en algún sistema formal. ${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización Q}$

Para cualesquiera proposiciones H ₁ , H ₂ , ... H _n , y permutación σ(n) de los números 1 a n, se cumple que:

H1H2 ... Hn_​ ​_​​${\displaystyle \tierra}$ ${\displaystyle \tierra}$${\displaystyle \tierra}$

es equivalente a

Hσ ₍₁₎ Hσ ₍₂₎ Hσ _(n) .${\displaystyle \tierra}$ ${\displaystyle \tierra}$

Por ejemplo, si H ₁ es

Está lloviendo

H ₂ es

Sócrates es mortal

y H ₃ es

2+2=4

entonces

Está lloviendo y Sócrates es mortal y 2+2=4

es equivalente a

Sócrates es mortal y 2+2=4 y está lloviendo

y los demás ordenamientos de los predicados.