Subasta de valor común

En las subastas de valor común , el valor del artículo en venta es idéntico para todos los postores, pero cada uno de ellos tiene información diferente sobre el valor del artículo. Esto contrasta con una subasta de valor privado , en la que la valoración privada del artículo por parte de cada postor es diferente e independiente de las valoraciones de sus pares. ^[1]

Un ejemplo clásico de una subasta de valores comunes puros es cuando se subasta un frasco lleno de monedas de veinticinco centavos. El frasco tendrá el mismo valor para todos. Sin embargo, cada postor tiene una estimación diferente sobre la cantidad de monedas de veinticinco centavos que hay en el frasco. Otros ejemplos de la vida real incluyen subastas de letras del Tesoro, ofertas públicas iniciales, subastas de espectro, pinturas muy preciadas, obras de arte, antigüedades, etc.

Un fenómeno importante que ocurre en las subastas de valor común es la maldición del ganador . Los postores sólo tienen estimaciones del valor del bien. Si, en promedio, los postores estiman correctamente, la oferta más alta tenderá a haber sido realizada por alguien que sobreestimó el valor del bien. Este es un ejemplo de selección adversa , similar al clásico ejemplo de los " limones " de Akerlof . Los postores racionales anticiparán la selección adversa, de modo que, aunque su información resulte haber sido demasiado optimista cuando ganen, no pagarán demasiado en promedio.

En ocasiones, el término “maldición del ganador” se utiliza de forma diferente para referirse a los casos en que los postores ingenuos ignoran la selección adversa y ofrecen una cantidad suficientemente superior a la que ofrecería un postor plenamente racional, por lo que terminan pagando más de lo que vale el bien. Este uso es frecuente en la literatura de economía experimental, en contraste con la literatura teórica y empírica sobre subastas.

Las subastas de valor común y las subastas de valor privado son dos extremos. Entre estos dos extremos se encuentran las subastas de valor interdependientes (también llamadas subastas de valor afiliadas ), donde las valoraciones de los postores (por ejemplo, ) pueden tener un componente de valor común ( ) y un componente de valor privado ( ). Los dos componentes pueden correlacionarse de modo que la valoración privada de un postor pueda influir en la valoración de otro postor. ^[2] Este tipo de subastas comprende la mayoría de las subastas del mundo real y, a veces, también se las denomina, de manera confusa, subastas de valor común. ${\displaystyle \theta _{i}=\theta +\nu _{i}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \nu _{i}}$

En los siguientes ejemplos, se modela una subasta de valor común como un juego bayesiano . Intentamos encontrar un equilibrio de Nash bayesiano (BNE), que es una función que va de la información que posee un jugador a la oferta de ese jugador. Nos centramos en un BNE simétrico (SBNE), en el que todos los postores utilizan la misma función.

El siguiente ejemplo se basa en Acemoglu y Özdağlar . ^{[3] : 44–46}

Hay dos postores que participan en una subasta de oferta sellada al primer precio por un objeto que tiene una calidad alta (valor V) o una calidad baja (valor 0) para ambos. Cada postor recibe una señal que puede ser alta o baja, con una probabilidad de 1/2. La señal está relacionada con el valor real de la siguiente manera:

• Si al menos un postor recibe una señal baja, entonces el valor real es 0.
• Si ambos reciben una señal alta, entonces el valor verdadero es V.

Este juego no tiene SBNE en estrategias puras.

PRUEBA: Supongamos que existiera un equilibrio b . Se trata de una función de una señal a una oferta, es decir, un jugador con señal x oferta b ( x ). Claramente b (baja)=0, ya que un jugador con señal baja sabe con certeza que el valor verdadero es 0 y no quiere pagar nada por ello. Además, b (alta) ≤ V, de lo contrario no habrá ganancia en la participación. Supongamos que el postor 1 tiene b1 (alta)=B1 > 0. Estamos buscando la mejor respuesta para el postor 2, b2 (alta)=B2. Hay varios casos:

1. El otro postor ofrece B2 < B1. Entonces, su ganancia esperada es 1/2 (la probabilidad de que el postor 2 tenga una señal baja) por −B2 (ya que en ese caso gana un artículo sin valor y paga b2 (alto)), más 1/2 (la probabilidad de que el postor 2 tenga una señal alta) por 0 (ya que en ese caso pierde el artículo). La ganancia esperada total es −B2/2, que es peor que 0, por lo que no puede ser una mejor respuesta.
2. El otro postor ofrece B2 = B1. Entonces, su ganancia esperada es 1/2 por −B2, más 1/2 por 1/2 por [V− B2] (ya que en ese caso, gana el artículo con una probabilidad de 1/2). La ganancia esperada total es (V − 3 B2)/4.
3. El postor b2 ofrece B2 > B1. Entonces, su ganancia esperada es 1/2 veces −B2, más 1/2 veces [V− B2] (ya que en ese caso, gana el artículo con probabilidad 1). La ganancia esperada total es (2 V − 4 B2)/4.

La última expresión es positiva sólo cuando B2 < V/2. Pero en ese caso, la expresión del punto 3 es mayor que la del punto 2: siempre es mejor ofertar un poco más que el otro postor. Esto significa que no hay equilibrio simétrico.

Este resultado contrasta con el caso de valor privado, donde siempre hay una SBNE (ver subasta de oferta sellada de primer precio ).

El siguiente ejemplo se basa en ^{[3] : 47–50}

Hay dos postores que participan en una subasta de oferta sellada de segundo precio por un objeto. Cada postor recibe la señal ; las señales son independientes y tienen una distribución uniforme y continua en [0,1]. Las valoraciones son: ${\displaystyle i}$${\displaystyle s_{i}}$

${\displaystyle v_{i}=a\cdot s_{i}+b\cdot s_{-i}}$

donde son constantes ( significa valores privados; significa valores comunes). ${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a=1,b=0}$${\displaystyle a=b}$

Aquí hay un SBNE único en el que cada jugador puja:

${\displaystyle b(s_{i})=(a+b)\cdot s_{i}}$

Este resultado contrasta con el caso de valor privado, donde en SBNE cada jugador ofrece verazmente su valor (ver subasta de oferta sellada de segundo precio ).

Este ejemplo se sugiere ^{[4] : ​​188–190} como explicación de las pujas anticipadas en las subastas inglesas .

Dos postores, Xenia y Yakov, participan en una subasta de un único artículo. Las valoraciones dependen de AB y C, tres variables aleatorias independientes extraídas de una distribución uniforme continua en el intervalo [0,36]:

• Xenia ve ;${\displaystyle X:=A+B}$
• Yakov ve ;${\displaystyle Y:=B+C}$
• El valor común del artículo es .${\displaystyle V:=(X+Y)/2=(A+2B+C)/2}$

A continuación, analizamos varios formatos de subasta y buscamos una SBNE en cada uno de ellos. Para simplificar, buscamos una SBNE en la que cada postor puje por su señal: Xenia puja y Yakov puja . Intentamos encontrar el valor de en cada caso. ${\displaystyle r}$${\displaystyle r\cdot X}$${\displaystyle r\cdot Y}$${\displaystyle r}$

En una subasta de segundo precio con oferta sellada , hay una SBNE con , es decir, cada postor oferta exactamente su señal. ${\displaystyle r=1}$

PRUEBA: La prueba toma el punto de vista de Xenia. Suponemos que ella sabe que Yakov ofrece , pero no sabe . Encontramos la mejor respuesta de Xenia a la estrategia de Yakov. Supongamos que Xenia ofrece . Hay dos casos: ${\displaystyle rY}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle Z\geq rY}$. Entonces Xenia gana y disfruta de una ganancia neta de .${\displaystyle V-rY=(X+Y-2rY)/2}$
• ${\displaystyle Z<rY}$Entonces Xenia pierde y su ganancia neta es 0.

En resumen, la ganancia esperada de Xenia (dada su señal X) es:

${\displaystyle \int _{Y=0}^{Z/r}{X+Y-2rY \over 2}\cdot f(Y|X)dY}$

donde es la densidad de probabilidad condicional de Y dado X. ${\displaystyle f(Y|X)}$

Según el teorema fundamental del cálculo , la derivada de esta expresión en función de Z es exactamente . Esto es cero cuando . Por lo tanto, la mejor respuesta de Xenia es ofertar . ${\displaystyle {1 \over r}{X+Z/r-2Z \over 2}\cdot f(Z/r|X)}$${\displaystyle X=2Z-Z/r}$${\displaystyle Z={rX \over 2r-1}}$

En una BNE simétrica, Xenia ofrece . Comparar las dos últimas expresiones implica que . ${\displaystyle Z=rX}$${\displaystyle r=1}$

Los ingresos esperados del subastador son:

${\displaystyle =E[\min(X,Y)]=E[B+\min(A,C)]}$

${\displaystyle =E[B]+E[\min(A,C)]}$

${\displaystyle =18+12=30}$

En una subasta japonesa , el resultado es el mismo que en la subasta de segundo precio, ^[4] ya que la información se revela solo cuando uno de los postores sale, pero en este caso la subasta ha terminado. Por lo tanto, cada postor sale cuando observa lo que ocurre.

En el ejemplo anterior, en una subasta de oferta sellada de primer precio , hay una SBNE con , es decir, cada postor oferta 2/3 de su señal. ${\displaystyle r=2/3}$

PRUEBA: La prueba toma el punto de vista de Xenia. Suponemos que ella sabe que Yakov ofrece , pero no sabe . Encontramos la mejor respuesta de Xenia a la estrategia de Yakov. Supongamos que Xenia ofrece . Hay dos casos: ${\displaystyle rY}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle Z\geq rY}$. Entonces Xenia gana y disfruta de una ganancia neta de .${\displaystyle V-Z=(X+Y-2Z)/2}$
• ${\displaystyle Z<rY}$Entonces Xenia pierde y su ganancia neta es 0.

En resumen, la ganancia esperada de Xenia (dada su señal X y su oferta Z) es:

${\displaystyle G(X,Z)=\int _{Y=0}^{Z/r}{X+Y-2Z \over 2}\cdot f(Y|X)dY}$

donde es la densidad de probabilidad condicional de Y dado X. ${\displaystyle f(Y|X)}$

Dado que , la densidad de probabilidad condicional de Y es: ${\displaystyle Y=X+C-A}$

• ${\displaystyle f(Y|X)=Y-(X-1)}$cuando${\displaystyle X-1\leq Y\leq X}$
• ${\displaystyle f(Y|X)=(X+1)-Y}$cuando${\displaystyle X\leq Y\leq X+1}$

Sustituyendo esto en la fórmula anterior, obtenemos que la ganancia de Xenia es:

${\displaystyle G(X,Z)={1 \over r^{3}}(XZ^{2}r/2+Z^{3}/3-Z^{3}r)}$

Esto tiene un máximo cuando . Pero, dado que queremos una BNE simétrica, también queremos tener . Estas dos igualdades juntas implican que . ${\displaystyle Z={rX \over 3r-1}}$${\displaystyle Z=rX}$${\displaystyle r=2/3}$

Los ingresos esperados del subastador son:

${\displaystyle =E[\max(fX,fY)]=(2/3)E[B+\max(A,C)]}$

${\displaystyle =(2/3)(E[B]+E[\max(A,C)])}$

${\displaystyle =(2/3)(18+24)=28}$

Obsérvese que aquí el principio de equivalencia de ingresos NO se cumple: los ingresos del subastador son menores en una subasta de primer precio que en una subasta de segundo precio (la equivalencia de ingresos se cumple solo cuando los valores son independientes).

Las subastas de valor común son comparables a la competencia de Bertrand . En este caso, las empresas son las que ofertan y el consumidor es el subastador. Las empresas "ofrecen" precios que no superan el valor real del artículo. La competencia entre empresas debería eliminar las ganancias. El número de empresas influirá en el éxito o el fracaso del proceso de subasta para llevar el precio hacia el valor real. Si el número de empresas es pequeño, puede haber colusión. Véase Monopolio , Oligopolio .