ecuación de colinealidad

Las ecuaciones de colinealidad son un conjunto de dos ecuaciones, utilizadas en fotogrametría y visión estéreo computarizada , para relacionar las coordenadas en un plano del sensor (en dos dimensiones) con las coordenadas del objeto (en tres dimensiones). Las ecuaciones se originan a partir de la proyección central de un punto del objeto a través del centro óptico de la cámara sobre la imagen en el plano del sensor. ^{[ 1 ]}

Sean x, y, z un sistema de coordenadas con los ejes x e y en el plano del sensor. Denotemos las coordenadas del punto P en el objeto por${\displaystyle x_{P},y_{P},z_{P}}$, las coordenadas del punto de imagen de P en el plano del sensor por x e y y las coordenadas del centro de proyección (óptico) por${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$Como consecuencia del método de proyección, existe la misma proporción fija.${\displaystyle \lambda }$entre${\displaystyle x-x_{0}}$y${\displaystyle x_{0}-x_{P}}$,${\displaystyle y-y_{0}}$y${\displaystyle y_{0}-y_{P}}$y la distancia del centro de proyección al plano del sensor${\displaystyle z_{0}=c}$y${\displaystyle z_{P}-z_{0}}$. Por eso:

${\displaystyle x-x_{0}=-\lambda (x_{P}-x_{0})}$

${\displaystyle y-y_{0}=-\lambda (y_{P}-y_{0})}$

${\displaystyle c=\lambda (z_{P}-z_{0}),}$

Resolver para${\displaystyle \lambda }$Sustituyendo el resultado en la última ecuación e introduciéndolo en las demás, se obtiene:

${\displaystyle x-x_{0}=-c\ {\frac {x_{P}-x_{0}}{z_{P}-z_{0}}}}$

${\displaystyle y-y_{0}=-c\ {\frac {y_{P}-y_{0}}{z_{P}-z_{0}}}}$

El punto P se da normalmente en algún sistema de coordenadas "fuera" de la cámara mediante las coordenadas X , Y y Z , y el centro de proyección por${\displaystyle X_{0},Y_{0},Z_{0}}$Estas coordenadas pueden transformarse mediante una rotación y una traslación al sistema de la cámara. La traslación no influye en las diferencias de las coordenadas, y la rotación, a menudo llamada transformación de la cámara , viene dada por una matriz R de 3×3 , que transforma${\ Displaystyle (X-X_ {0}, Y-Y_ {0}, Z-Z_ {0})}$en:

${\displaystyle x_{P}-x_{0}=R_{11}(X-X_{0})+R_{21}(Y-Y_{0})+R_{31}(Z-Z_{0})}$

${\displaystyle y_{P}-y_{0}=R_{12}(X-X_{0})+R_{22}(Y-Y_{0})+R_{32}(Z-Z_{0})}$

y

${\displaystyle z_{P}-z_{0}=R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0})}$

La sustitución de estas expresiones conduce a un conjunto de dos ecuaciones, conocidas como ecuaciones de colinealidad :

${\displaystyle x-x_{0}=-c\ {\frac {R_{11}(X-X_{0})+R_{21}(Y-Y_{0})+R_{31}(Z-Z_{0})}{R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0})}}}$

${\displaystyle y-y_{0}=-c\ {\frac {R_{12}(X-X_{0})+R_{22}(Y-Y_{0})+R_{32}(Z-Z_{0})}{R_{13}(X-X_{0})+R_{23}(Y-Y_{0})+R_{33}(Z-Z_{0})}}}$

El uso más evidente de estas ecuaciones es para imágenes capturadas por una cámara. En este caso, la ecuación describe transformaciones del espacio del objeto (X, Y, Z) a coordenadas de la imagen (x, y). Constituye la base de las ecuaciones utilizadas en el ajuste de haces . Estas ecuaciones indican que el punto de la imagen (en el sensor de la cámara), el punto observado (en el objeto) y el centro de proyección de la cámara estaban alineados al tomar la fotografía.

• Proyección 3D
• Geometría epipolar
• Modelo de cámara estenopeica