Beta termodinámica

En termodinámica estadística , la beta termodinámica , también conocida como frialdad , ^{[ 1 ]} es el recíproco de la temperatura termodinámica de un sistema:$${\displaystyle \beta \equiv {\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}$$(donde T es la temperatura y k _B es la constante de Boltzmann ). ^{[ 2 ]}

La beta termodinámica tiene unidades recíprocas a las de la energía (en unidades del SI , julios recíprocos ,${\displaystyle [\beta ]={\textrm {J}}^{-1}}$). En unidades no térmicas, también se puede medir en byte por julio, o más convenientemente, gigabyte por nanojulio; ^{[ 3 ]} 1 K ⁻¹ es equivalente a unos 13.062 gigabytes por nanojulio; a temperatura ambiente: T = 300 K, β ≈44  GB/nJ ≈39 eV ⁻¹  ≈2,4 × 10 ²⁰  J ⁻¹ . El factor de conversión es 1 GB/nJ =${\displaystyle 8\ln 2\times 10^{18}}$J ⁻¹ .

La beta termodinámica es esencialmente la conexión entre la teoría de la información y la interpretación de la mecánica estadística de un sistema físico a través de su entropía y la termodinámica asociada a su energía . Expresa la respuesta de la entropía a un aumento de energía. Si se añade una pequeña cantidad de energía al sistema, entonces β describe el grado de aleatorización que experimentará el sistema.

Mediante la definición estadística de la temperatura como una función de la entropía, la función de frialdad se puede calcular en el conjunto microcanónico a partir de la fórmula

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}\,={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}}$

(es decir, la derivada parcial de la entropía S con respecto a la energía E a volumen constante V y número de partículas N ).

Desde el punto de vista estadístico, β es una cantidad numérica que relaciona dos sistemas macroscópicos en equilibrio. La formulación exacta es la siguiente. Consideremos dos sistemas, 1 y 2, en contacto térmico, con energías respectivas E ₁ y E ₂ . Suponemos que E ₁ + E ₂ = alguna constante E . El número de microestados de cada sistema se denotará por Ω ₁ y Ω ₂ . Bajo nuestras suposiciones, Ω _i depende solo de E _i . También suponemos que cualquier microestado del sistema 1 consistente con E ₁ puede coexistir con cualquier microestado del sistema 2 consistente con E ₂ . Por lo tanto, el número de microestados para el sistema combinado es

${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).\,}$

Derivaremos β a partir del supuesto fundamental de la mecánica estadística :

Cuando el sistema combinado alcanza el equilibrio, el número Ω se maximiza.

(En otras palabras, el sistema busca naturalmente el número máximo de microestados). Por lo tanto, en equilibrio,

${\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.}$

Pero E ₁ + E ₂ = E implica

${\displaystyle {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.}$

Entonces

${\displaystyle \Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0}$

es decir

${\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{en equilibrio.}}}$

La relación anterior motiva una definición de β :

${\displaystyle \beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.}$

Cuando dos sistemas están en equilibrio, tienen la misma temperatura termodinámica T. Por lo tanto, intuitivamente, cabría esperar que β (tal como se define a través de los microestados) estuviera relacionado con T de alguna manera. Este vínculo lo proporciona la suposición fundamental de Boltzmann escrita como

${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,}$

donde k _B es la constante de Boltzmann , S es la entropía termodinámica clásica y Ω es el número de microestados. Por lo tanto,

${\displaystyle d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.}$

Sustituyendo en la definición de β de la definición estadística anterior se obtiene

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.}$

Comparando con la fórmula termodinámica

${\displaystyle {\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},}$

tenemos

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}}$

dónde${\displaystyle \tau }$Se denomina temperatura fundamental del sistema y tiene unidades de energía.

La función beta termodinámica fue introducida originalmente en 1971 (como Kältefunktion , "función de frialdad") por Ingo Müller , uno de los defensores de la escuela de pensamiento de la termodinámica racional , ^{[ 5 ] [ 6 ]} basándose en propuestas anteriores para una función de "temperatura recíproca". ^{[ 1 ] [ 7 ]}

• distribución de Boltzmann
• Conjunto canónico
• modelo de Ising