Juego caliente

En la teoría de juegos combinatorios , una rama de las matemáticas, un juego "caliente" es aquel en el que cada jugador puede mejorar su posición realizando el siguiente movimiento.

Por el contrario, un juego frío es aquel en el que cada jugador solo puede empeorar su posición al realizar el siguiente movimiento. La clase de juegos fríos es equivalente a la clase de números surrealistas y, por lo tanto, se puede ordenar por valor, mientras que los juegos calientes pueden tener otros valores. ^{[ 1 ]}

También existen juegos tibios , que son juegos con una temperatura exactamente cero. Los juegos tibios pertenecen a la clase de juegos estrictamente numéricos: es decir, juegos que son equivalentes a un número más un infinitesimal.

Hackenbush solo puede representar juegos fríos y tibios (por su descomposición ^{[ 2 ]} en una montaña púrpura y una jungla verde).

Por ejemplo, consideremos un juego en el que los jugadores retiran alternativamente fichas de su propio color de una mesa: el jugador azul retira solo fichas azules y el jugador rojo solo fichas rojas. Gana el último jugador en retirar una ficha. Obviamente, la victoria será para el jugador que comience con más fichas, o para el segundo jugador si el número de fichas rojas y azules es igual. Retirar una ficha del propio color deja la posición ligeramente desfavorable para el jugador que realizó el movimiento, ya que ahora tiene menos fichas en la mesa. Por lo tanto, cada ficha representa un componente "frío" del juego.

Consideremos ahora una ficha especial de color púrpura con el número "100", que puede ser retirada por cualquiera de los jugadores, quienes la reemplazan con 100 fichas de su propio color. (En la notación de Conway , la ficha púrpura representa el juego {100|−100}). La ficha púrpura es un componente "caliente", ya que resulta muy ventajoso ser el jugador que la retira. De hecho, si hay fichas púrpuras sobre la mesa, los jugadores preferirán retirarlas primero, dejando las rojas o azules para el final. En general, un jugador siempre preferirá mover en un juego caliente que en uno frío, porque moverse en un juego caliente mejora su posición, mientras que moverse en un juego frío la perjudica.

La temperatura de un juego es una medida de su valor para los dos jugadores. Una ficha morada "100" tiene una temperatura de 100 porque su valor para cada jugador es de 100 movimientos. En general, los jugadores preferirán moverse en el componente más caliente disponible. Por ejemplo, supongamos que hay una ficha morada "100" y también una ficha morada "1000" que permite al jugador que la toma colocar 1000 fichas de su propio color sobre la mesa. Cada jugador preferirá retirar la ficha "1000", con una temperatura de 1000, antes que la ficha "100", con una temperatura de 100.

Para poner un ejemplo un poco más complicado, consideremos el juego {10|2}  +  {5|−5}. {5|−5} es una ficha que cualquiera de los jugadores puede reemplazar con 5 fichas de su propio color, y {10|2} es una ficha que el jugador Azul puede reemplazar con 10 fichas azules o el jugador Rojo puede reemplazar con 2 fichas azules .

La temperatura del componente {10|2} es ½(10 − 2) = 4, mientras que la temperatura del componente {5|−5} es 5. Esto sugiere que cada jugador debería preferir jugar en el componente {5|−5}. De hecho, el mejor primer movimiento para el jugador Rojo es reemplazar {5|−5} con −5, con lo que el jugador Azul reemplaza {10|2} con 10, dejando un total de 5; si el jugador Rojo se hubiera movido en el componente más frío {10|2}, la posición final habría sido 2 + 5 = 7, lo cual es peor para Rojo. De manera similar, el mejor primer movimiento para el jugador Azul también está en el componente más caliente, de {5|−5} a 5, aunque moverse en el componente {10|2} produce más fichas azules a corto plazo.       

En el juego Snort , los jugadores Rojo y Azul se turnan para colorear los vértices de un grafo, con la restricción de que dos vértices conectados por una arista no pueden tener colores diferentes. Como es habitual, el último jugador en realizar un movimiento válido es el ganador. Dado que los movimientos de un jugador mejoran su posición al reservar efectivamente los vértices adyacentes exclusivamente para él, las posiciones en Snort suelen ser "calientes". En cambio, en el juego Col , muy similar , donde los vértices adyacentes no pueden tener el mismo color, las posiciones suelen ser "frías".

La teoría de los juegos calientes ha encontrado cierta aplicación en el análisis de la estrategia de final de juego en Go . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• Domineering , otro juego en el que surgen posiciones calientes
• Enfriamiento y calentamiento (teoría de juegos combinatorios) , operaciones para que los juegos calientes sean susceptibles al mismo tipo de análisis que los juegos fríos.

• Berlekamp, ​​Elwyn P .; Conway, John H .; Guy, Richard K. (1982). Métodos para ganar . Vol.  1 (1.ª  ed.). Nueva York : Academic Press . ISBN 0-12-091150-7.
• Conway, John H. (2001). Sobre números y juegos (2.ª  ed.). AK Peters, Ltd. págs. 101–108 . ISBN  1-56881-127-6.