Filtro Fréchet

En matemáticas, el filtro de Fréchet , también llamado filtro cofinito , en un conjunto${\displaystyle X}$es una cierta colección de subconjuntos de${\displaystyle X}$(es decir, es un subconjunto particular del conjunto potencia de${\displaystyle X}$). Un subconjunto${\displaystyle F}$de${\displaystyle X}$pertenece al filtro de Fréchet si y solo si el complemento de${\displaystyle F}$en${\displaystyle X}$es finito. Cualquier conjunto de este tipo${\displaystyle F}$Se dice que es cofinito en${\displaystyle X}$, razón por la cual también se le llama filtro cofinito en${\displaystyle X}$.

El filtro de Fréchet es de interés en topología , donde se originaron los filtros, y se relaciona con el orden y la teoría de retículos porque el conjunto potencia de un conjunto es un conjunto parcialmente ordenado bajo la inclusión de conjuntos (más específicamente, forma un retículo). El filtro de Fréchet recibe su nombre del matemático francés Maurice Fréchet (1878-1973), quien trabajó en topología.

Un subconjunto${\displaystyle A}$de un conjunto${\displaystyle X}$Se dice que es cofinito en${\displaystyle X}$si su complemento en${\displaystyle X}$(es decir, el conjunto${\displaystyle X\setminus A}$) es finito . El filtro de Fréchet en${\displaystyle X}$, denotado por${\displaystyle F}$es el conjunto de todos los subconjuntos cofinitos de${\displaystyle X}$. Es decir: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle F=\{A\subseteq X:X\setminus A\;{\text{ es finito }}\}.}$$

Esto hace que${\displaystyle F}$un filtro en la red${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq ),}$el conjunto de potencia${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$de${\displaystyle X}$con inclusión del conjunto.

Alquiler${\displaystyle S^{\operatorname {c} }}$denota el complemento de un conjunto${\displaystyle S}$en${\displaystyle X,}$Se cumplen las dos condiciones siguientes:

condición de intersección

Si dos conjuntos se complementan de forma finita en${\displaystyle X}$, entonces también lo es su intersección, ya que${\displaystyle (A\cap B)^{\operatorname {c} }=A^{\operatorname {c} }\cup B^{\operatorname {c} },}$y

Condición de conjunto superior

Si un conjunto se complementa de forma finita en${\displaystyle X}$, entonces también lo son sus superconjuntos en${\displaystyle X}$.

Si el conjunto base${\displaystyle X}$es finito, entonces${\displaystyle F={\mathcal {P}}(X)}$ya que cada subconjunto de${\displaystyle X}$, y en particular cada complemento, es entonces finito. Este caso a veces se excluye por definición o se denomina filtro impropio en${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]} Permitir${\displaystyle X}$El hecho de ser finito crea una única excepción a la condición de que el filtro de Fréchet sea libre y no principal, ya que un filtro en un conjunto finito no puede ser libre y un filtro no principal no puede contener ningún singleton como miembro.

Si${\displaystyle X}$es infinito, entonces cada miembro de${\displaystyle F}$es infinito ya que es simplemente${\displaystyle X}$menos un número finito de sus miembros. Además,${\displaystyle F}$es infinito ya que uno de sus subconjuntos es el conjunto de todos${\displaystyle \{x\}^{\operatorname {C} },}$dónde${\displaystyle x\in X.}$

El filtro de Fréchet es libre y no principal, excepto en el caso finito mencionado anteriormente, y está incluido en todo filtro libre. También es el filtro dual del ideal de todos los subconjuntos finitos de (infinito)${\displaystyle X}$.

El filtro de Fréchet no es necesariamente un ultrafiltro (o filtro propio máximo). Consideremos el conjunto de potencias.${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),}$dónde${\displaystyle \mathbb {N} }$son los números naturales . El conjunto de los números pares es el complemento del conjunto de los números impares. Dado que ninguno de estos conjuntos es finito, ninguno de los conjuntos está en el filtro de Fréchet en${\displaystyle \mathbb {N} .}$ Sin embargo, un ultrafiltro (y cualquier otro filtro no degenerado) es libre si y solo si incluye el filtro de Fréchet. El lema del ultrafiltro establece que todo filtro no degenerado está contenido en algún ultrafiltro. La existencia de ultrafiltros libres fue establecida por Tarski en 1930, basándose en un teorema equivalente al axioma de elección, y se utiliza en la construcción de los hiperreales en el análisis no estándar . ^{[ 3 ]}

En el plató${\displaystyle \mathbb {N} }$de los números naturales , el conjunto de intervalos infinitos ${\displaystyle B=\{(n,\infty ):n\in \mathbb {N} \}}$ es una base de filtro Fréchet , es decir, el filtro Fréchet en${\displaystyle \mathbb {N} }$consta de todos los superconjuntos de elementos de${\displaystyle B}$.

• Teorema del ideal primo booleano : los ideales en un álgebra booleana pueden extenderse a ideales primos. 
• Filtro (matemáticas) – Subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado 
• Filtro en un conjunto : familia de subconjuntos que representan conjuntos "grandes". 
• Filtros en topología
• Ultrafiltro en un conjunto : filtro adecuado máximo 

• Weisstein, Eric W. "Filtro Cofinite" . MundoMatemático .
• JB Nation, Apuntes sobre teoría de retículos , apuntes del curso, revisados ​​en 2017.