Coeficientes de potencial

En electrostática , los coeficientes de potencial determinan la relación entre la carga y el potencial electrostático ( potencial eléctrico ), que es puramente geométrica:

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+\cdots +p_{1n}Q_{n}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+\cdots +p_{2n}Q_{n}\\\vdots \\\phi _{n}=p_{n1}Q_{1}+\cdots +p_{nn}Q_{n}\end{matrix}}.}$

donde Q _i es la carga superficial en el conductor i . Los coeficientes de potencial son los coeficientes p _ij . φ _i debe leerse correctamente como el potencial en el conductor i , y por lo tanto " " es el p debido a la carga 1 en el conductor 2.${\displaystyle p_{21}}$

${\displaystyle p_{ij}={\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}=\left({\partial \phi _{i} \over \partial Q_{j}}\right)_{Q_{1},...,Q_{j-1},Q_{j+1},...,Q_{n}}.}$

Tenga en cuenta que:

1. p _ij = p _ji , por simetría, y
2. p _ij no depende de la carga.

El contenido físico de la simetría es el siguiente:

Si una carga Q en el conductor j lleva al conductor i a un potencial φ , entonces la misma carga colocada en i llevaría a j al mismo potencial φ .

En general, los coeficientes se utilizan al describir sistemas de conductores, como en el caso del condensador .

Dado el potencial eléctrico en una superficie conductora S _i (la superficie equipotencial o el punto P elegido en la superficie i ) contenido en un sistema de conductores j = 1, 2, ..., n :

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{S_{j}}{\frac {\sigma _{j}da_{j}}{R_{ji}}}{\mbox{ (i=1, 2..., n)}},}$

donde R _ji = | r _i - r _j | , es decir, la distancia desde el elemento de área da _j hasta un punto particular r _i en el conductor i . σ _j no está, en general, distribuido uniformemente sobre la superficie. Introduzcamos el factor f _j que describe cómo la densidad de carga real difiere del promedio en una posición en la superficie del conductor j :

${\displaystyle {\frac {\sigma _{j}}{\langle \sigma _{j}\rangle }}=f_{j},}$

o

${\displaystyle \sigma _{j}=\langle \sigma _{j}\rangle f_{j}={\frac {Q_{j}}{S_{j}}}f_{j}.}$

Entonces,

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {Q_{j}}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}.}$

Se puede demostrar que es independiente de la distribución . Por lo tanto, con${\displaystyle \int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}}}$${\displaystyle \sigma _{j}}$

${\displaystyle p_{ij}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}S_{j}}}\int _{S_{j}}{\frac {f_{j}da_{j}}{R_{ji}}},}$

tenemos

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1, 2, ..., n)}}.}$

En este ejemplo, empleamos el método de los coeficientes de potencial para determinar la capacitancia en un sistema de dos conductores.

Para un sistema de dos conductores, el sistema de ecuaciones lineales es

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=p_{11}Q_{1}+p_{12}Q_{2}\\\phi _{2}=p_{21}Q_{1}+p_{22}Q_{2}\end{matrix}}.}$

En un capacitor , la carga en los dos conductores es igual y opuesta: Q = Q ₁ = - Q ₂ . Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi _{1}=(p_{11}-p_{12})Q\\\phi _{2}=(p_{21}-p_{22})Q\end{matrix}},}$

y

${\displaystyle \Delta \phi =\phi _{1}-\phi _{2}=(p_{11}+p_{22}-p_{12}-p_{21})Q.}$

Por eso,

${\displaystyle C={\frac {1}{p_{11}+p_{22}-2p_{12}}}.}$

Tenga en cuenta que el conjunto de ecuaciones lineales

${\displaystyle \phi _{i}=\sum _{j=1}^{n}p_{ij}Q_{j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}}$

puede invertirse a

${\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}\phi _{j}{\mbox{ (i = 1,2,...n)}}}$

donde los c _ij con i = j se denominan coeficientes de capacidad y los c _ij con i ≠ j se denominan coeficientes de inducción electrostática . ^{[ 1 ]}

Para un sistema de dos conductores esféricos mantenidos al mismo potencial, ^{[ 2 ]}

${\displaystyle Q_{a}=(c_{11}+c_{12})V,\qquad Q_{b}=(c_{12}+c_{22})V}$

${\displaystyle Q=Q_{a}+Q_{b}=(c_{11}+2c_{12}+c_{bb})V}$

Si los dos conductores tienen cargas iguales y opuestas,

${\displaystyle \phi _{1}={\frac {Q(c_{12}+c_{22})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}},\qquad \quad \phi _{2}={\frac {-Q(c_{12}+c_{11})}{(c_{11}c_{22}-c_{12}^{2})}}}$

${\displaystyle \quad C={\frac {Q}{\phi _{1}-\phi _{2}}}={\frac {c_{11}c_{22}-c_{12}^{2}}{c_{11}+c_{22}+2c_{12}}}}$

Se puede demostrar que el sistema de conductores tiene una simetría similar c _ij = c _ji .

• James Clerk Maxwell (1873) Tratado sobre electricidad y magnetismo , § 86, página 89.