Errores estándar agrupados

Los errores estándar agrupados (o errores estándar de Liang-Zeger ) ^{[ 1 ]} son ​​medidas que estiman el error estándar de un parámetro de regresión en entornos donde las observaciones pueden subdividirse en grupos más pequeños ("grupos") y donde el muestreo y/o la asignación del tratamiento están correlacionados dentro de cada grupo. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Los errores estándar agrupados se utilizan ampliamente en diversos entornos econométricos aplicados, incluyendo diferencias en diferencias ^{[ 4 ]} o experimentos. ^{[ 5 ]}

De forma análoga a como los errores estándar de Huber-White son consistentes en presencia de heterocedasticidad y los errores estándar de Newey-West son consistentes en presencia de autocorrelación modelada con precisión , los errores estándar agrupados son consistentes en presencia de muestreo basado en conglomerados o asignación de tratamiento. Los errores estándar agrupados a menudo se justifican por la posible correlación en el modelado de residuos dentro de cada conglomerado; si bien trabajos recientes sugieren que esta no es la justificación precisa detrás de la agrupación, ^{[ 6 ]} puede ser útil desde el punto de vista pedagógico .

Los errores estándar agrupados suelen ser útiles cuando el tratamiento se asigna a nivel de grupo en lugar de a nivel individual. Por ejemplo, supongamos que una investigadora educativa quiere descubrir si una nueva técnica de enseñanza mejora las calificaciones de los estudiantes en las pruebas. Para ello, asigna a los profesores de las aulas "tratadas" a probar esta nueva técnica, mientras que las aulas de "control" no se ven afectadas. Al analizar sus resultados, puede que desee mantener los datos a nivel de estudiante (por ejemplo, para controlar las características observables a nivel de estudiante). Sin embargo, al estimar el error estándar o el intervalo de confianza de su modelo estadístico , se da cuenta de que los errores estándar clásicos, o incluso los robustos a la heterocedasticidad, son inapropiados porque las calificaciones de los estudiantes dentro de cada clase no se distribuyen de forma independiente. En cambio, los estudiantes de las clases con mejores profesores tienen calificaciones especialmente altas (independientemente de si reciben el tratamiento experimental), mientras que los estudiantes de las clases con peores profesores tienen calificaciones especialmente bajas. La investigadora puede agrupar sus errores estándar a nivel de aula para tener en cuenta este aspecto de su experimento. ^{[ 7 ]}

Si bien este ejemplo es muy específico, surgen problemas similares en una amplia variedad de contextos. Por ejemplo, en muchos contextos de datos de panel (como diferencias en diferencias ), el agrupamiento suele ofrecer una forma sencilla y eficaz de tener en cuenta la no independencia entre períodos dentro de cada unidad (a veces denominada "autocorrelación en los residuos"). ^{[ 4 ]} Otra justificación común y lógicamente distinta para el agrupamiento surge cuando no se puede muestrear aleatoriamente una población completa, por lo que en su lugar se muestrean conglomerados y luego se aleatorizan las unidades dentro de cada conglomerado. En este caso, los errores estándar agrupados tienen en cuenta la incertidumbre derivada del hecho de que el investigador no observa grandes partes de la población de interés. ^{[ 8 ]}

Una ilustración matemática útil proviene del caso de agrupamiento unidireccional en un modelo de mínimos cuadrados ordinarios (MCO). Consideremos un modelo simple con N observaciones que se subdividen en C grupos. Sea${\displaystyle Y}$frijol${\displaystyle n\times 1}$vector de resultados,${\displaystyle X}$a${\displaystyle n\times m}$matriz de covariables,${\displaystyle \beta }$un${\displaystyle m\times 1}$vector de parámetros desconocidos y${\displaystyle e}$un${\displaystyle n\times 1}$vector de residuos no explicados:

${\displaystyle Y=X\beta +e}$

Como es habitual en los modelos MCO, minimizamos la suma de los residuos al cuadrado.${\displaystyle e}$para obtener un presupuesto${\displaystyle {\sombrero {\beta }}}$:

${\displaystyle \min _{\beta }(YX\beta )^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow X'(YX{\hat {\beta }})=0}$

${\displaystyle \Rightarrow {\hat {\beta }}=(X'X)^{-1}X'Y}$

A partir de ahí, podemos derivar el estimador clásico de tipo "sándwich":

${\displaystyle V({\hat {\beta }})=V((X'X)^{-1}X'Y)=V(\beta +(X'X)^{-1}X'e)=V((X'X)^{-1}X'e)=(X'X)^{-1}X'ee'X(X'X)^{-1}}$

Denotando${\displaystyle \Omega \equiv ee'}$produce una forma potencialmente más familiar

${\displaystyle V({\hat {\beta }})=(X'X)^{-1}X'\Omega X(X'X)^{-1}}$

Si bien se puede desarrollar un estimador enchufable definiendo${\displaystyle {\hat {e}}\equiv YX{\hat {\beta }}}$y dejar${\displaystyle {\sombrero {\Omega }}\equiv {\sombrero {e}}{\sombrero {e}}'}$, este estimador completamente flexible no convergerá a${\displaystyle V({\sombrero {\beta }})}$como${\displaystyle N\rightarrow \infty }$. Dadas las suposiciones que un profesional considera razonables, los diferentes tipos de errores estándar resuelven este problema de diferentes maneras. Por ejemplo, los errores estándar homocedásticos clásicos suponen que${\displaystyle \Omega }$es diagonal con elementos idénticos${\displaystyle \sigma ^{2}}$, lo que simplifica la expresión para${\displaystyle V({\hat {\beta }})=\sigma ^{2}(X'X)^{-1}}$Los errores estándar de Huber -White asumen${\displaystyle \Omega }$es diagonal pero el valor de la diagonal varía, mientras que otros tipos de errores estándar (por ejemplo, Newey-West , errores estándar de Moulton, errores estándar espaciales de Conley) imponen otras restricciones a la forma de esta matriz para reducir el número de parámetros que el profesional necesita estimar.

Los errores estándar agrupados suponen que${\displaystyle \Omega }$es diagonal por bloques según los clústeres en la muestra, con valores no restringidos en cada bloque pero ceros en los demás. En este caso, se puede definir${\displaystyle X_{c}}$y${\displaystyle \Omega _{c}}$como los análogos dentro del bloque de${\displaystyle X}$y${\displaystyle \Omega }$y derivar el siguiente hecho matemático:

${\displaystyle X'\Omega X=\sum _{c}X'_{c}\Omega _{c}X_{c}}$

Mediante la construcción de matrices de sustitución${\displaystyle {\sombrero {\Omega }}_{c}}$, se puede formar un estimador para${\displaystyle V({\sombrero {\beta }})}$que es consistente con el número de clústeres${\displaystyle c}$se vuelve grande. Si bien no se ha demostrado estadísticamente que un número específico de clústeres sea suficiente, los profesionales suelen citar un número en el rango de 30 a 50 y se sienten cómodos utilizando errores estándar agrupados cuando el número de clústeres supera ese umbral.

Como alternativa, también se suelen utilizar modificaciones de muestra finita para reducir el sesgo a la baja.${\displaystyle V({\sombrero {\beta }})}$debido a C finito . ^{[ 9 ]} A menudo los profesionales utilizan el siguiente estimador corregido por sesgo:

${\displaystyle {\hat {V}}({\hat {\beta }})=(X'X)^{-1}\sum _{c}X'_{c}{\hat {\Omega }}_{c}X_{c}(X'X)^{-1}{\frac {C}{C-1}}{\frac {n-1}{nk}}.}$

Sin embargo, la práctica más reciente se ha orientado hacia análogos de los estimadores HC2 y HC3 robustos a la heterocedasticidad . ^{[ 9 ]} A menudo denominados estimadores CR2 y CR3, estos estimadores son insesgados bajo ciertas suposiciones. También se ha demostrado que, especialmente cuando se combinan con correcciones de grados de libertad para su uso en la construcción de intervalos de confianza, producen mejores tasas de cobertura cuando el número de conglomerados no es grande. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

• Alberto Abadie, Susan Athey, Guido W Imbens y Jeffrey M Wooldridge. 2022. "¿ Cuándo se deben ajustar los errores estándar para la agrupación? " Quarterly Journal of Economics .