Clúster primo

En teoría de números , un primo clúster es un número primo p tal que todo entero positivo par k  ≤  p − 3 puede escribirse como la diferencia entre dos números primos que no exceden p ( OEIS : A038134  ). Por ejemplo, el número 23 es un primo clúster porque 23 − 3 = 20, y todo entero par del 2 al 20, ambos inclusive, es la diferencia de al menos un par de números primos que no exceden 23:

• 5 − 3 = 2
• 7 − 3 = 4
• 11 − 5 = 6
• 11 − 3 = 8
• 13 − 3 = 10
• 17 − 5 = 12
• 17 − 3 = 14
• 19 − 3 = 16
• 23 − 5 = 18
• 23 − 3 = 20

Por otro lado, 149 no es un número primo de clúster porque 140 < 146, y no hay manera de escribir 140 como la diferencia de dos números primos que sean menores o iguales a 149.

Por convención, el 2 no se considera un primo de clúster. Los primeros 23 primos impares (hasta el 89) son todos primos de clúster. Los primeros primos impares que no son primos de clúster son

97 , 127 , 149 , 191 , 211 , 223 , 227 , 229 , ... OEIS : A038133 

Se desconoce si existen infinitos números primos de clúster.

• La diferencia entre primos que precede a un grupo de primos siempre es seis o menos. Para cualquier número primo n dado , sea${\displaystyle p_{n}}$denota el n-ésimo número primo. Si${\displaystyle {p_{n}-p_{n-1}}}$≥ 8, entonces${\displaystyle p_{n}}$− 9 no puede expresarse como la diferencia de dos primos que no exceda${\displaystyle p_{n}}$; de este modo,${\displaystyle p_{n}}$no es un número primo de clúster.
  • Lo contrario no es cierto: el primo no agrupado más pequeño que es el mayor de un par con una diferencia de seis o menos es 227 , una diferencia de solo cuatro entre 223 y 227. 229 es el primer primo no agrupado que es el mayor de un par de primos gemelos .
• El conjunto de primos de clúster es un conjunto pequeño . En 1999, Richard Blecksmith demostró que la suma de los recíprocos de los primos de clúster es finita. ^{[ 1 ]}
• Blecksmith también demostró una cota superior explícita para C(x), el número de primos de clúster menores o iguales a x. Específicamente, para cualquier entero positivo m :${\displaystyle C(x)<{x \over ln(x)^{m}}}$para todo x suficientemente grande .
  • De esto se deduce que casi todos los números primos están ausentes del conjunto de números primos agrupados.

• Weisstein, Eric W. "Cluster Prime" . MundoMatemático .