ecuación del cohete de Tsiolkovsky

La ecuación clásica del cohete , ecuación del cohete de Tsiolkovsky o ecuación del cohete ideal es una ecuación matemática que describe el movimiento de vehículos que siguen el principio básico de un cohete : un dispositivo que puede aplicar aceleración a sí mismo mediante empuje al expulsar parte de su masa a alta velocidad y, por lo tanto, puede moverse debido a la conservación del momento . La ecuación lleva el nombre de Konstantin Tsiolkovsky , a quien generalmente se le atribuye , quien derivó y publicó la fórmula en 1903, ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} aunque William Moore la había esbozado ya en 1810 ^{[ 3 ]} y la desarrolló aún más en un libro publicado en 1813. ^{[ 4 ]} Robert Goddard y Hermann Oberth también obtuvieron el mismo resultado en 1912 y 1920, respectivamente. Los cuatro razonaron y derivaron el mismo modelo de forma independiente.

El cambio máximo de velocidad del vehículo, $\Delta v$ (sin que actúen fuerzas externas) es:

$\Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}=I_{\text{sp}}g_{0}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},$ dónde:

$v_{\text{e}}$ $v_{\text{e}}$ es la velocidad de escape efectiva (que también es igual a $I_{\text{sp}}g_{0}$ $I_{\text{sp}}g_{0}$ )
- $I_{\text{sp}}$ es el impulso específico en la dimensión del tiempo;
- $g_{0}$ es gravedad estándar ;
$\ln$ es la función logaritmo natural ;
$m_{0}$ es la masa total inicial, incluyendo el propulsor , también conocida como masa húmeda;
$m_{f}$ es la masa total final sin propelente, también conocida como masa seca.

Dada la velocidad de escape efectiva determinada por el diseño del motor del cohete, el delta-v deseado (por ejemplo, velocidad orbital o velocidad de escape ) y una masa seca dada $m_{f}$ La ecuación se puede resolver para obtener la masa húmeda requerida. $m_{0}$ : $m_{0}=m_{f}e^{\Delta v/v_{\text{e}}}.$ La masa de propulsor requerida es entonces $m_{0}-m_{f}=m_{f}(e^{\Delta v/v_{\text{e}}}-1)$

La masa húmeda necesaria crece exponencialmente con el delta-v deseado.

También podemos expresar esto como la relación entre la masa de combustible y la masa de la carga útil: ${\frac {m_{0}-m_{f}}{m_{f}}}=e^{\Delta v/v_{e}}-1$ y vemos que crece exponencialmente con $\Delta v/v_{e}$

Historia

La ecuación recibe su nombre del científico ruso Konstantin Tsiolkovsky , quien la derivó de forma independiente y la publicó en su obra de 1903. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

La ecuación había sido derivada anteriormente por el matemático británico William Moore en 1810, ^{[ 3 ]} y posteriormente publicada en un libro aparte en 1813. ^{[ 4 ]}

El estadounidense Robert Goddard desarrolló de forma independiente la ecuación en 1912, cuando comenzó su investigación para mejorar los motores de cohetes para posibles vuelos espaciales. El ingeniero alemán Hermann Oberth derivó la ecuación de forma independiente alrededor de 1920, mientras estudiaba la viabilidad de los viajes espaciales.

Si bien la derivación de la ecuación del cohete es un ejercicio de cálculo sencillo , Tsiolkovsky es reconocido por ser el primero en aplicarla a la cuestión de si los cohetes podrían alcanzar las velocidades necesarias para los viajes espaciales .

Derivación

Derivación más popular

Considere el siguiente sistema:

En la siguiente derivación, "el cohete" se entiende como "el cohete y todo su propulsor no consumido".

La segunda ley del movimiento de Newton relaciona las fuerzas externas ( ${\vec {F}}_{i}$ ) al cambio en el momento lineal de todo el sistema (incluido el cohete y el escape) de la siguiente manera: $\sum _{i}{\vec {F}}_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}}{\Delta t}}$ dónde ${\vec {P}}_{0}$ es el momento del cohete en el tiempo $t=0$ : ${\vec {P}}_{0}=m{\vec {V}}$ y ${\vec {P}}_{\Delta t}$ es el momento del cohete y la masa agotada en el tiempo $t=\Delta t$ : ${\vec {P}}_{\Delta t}=\left(m-\Delta m\right)\left({\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}\right)+\Delta m{\vec {V}}_{\text{e}}$ y donde, con respecto al observador:

${\vec {V}}$ es la velocidad del cohete en el tiempo $t=0$
${\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}$ es la velocidad del cohete en el tiempo $t=\Delta t$
${\vec {V}}_{\text{e}}$ es la velocidad de la masa añadida al escape (y perdida por el cohete) durante el tiempo $\Delta t$
$m$ es la masa del cohete en el tiempo $t=0$
$\left(m-\Delta m\right)$ es la masa del cohete en el tiempo $t=\Delta t$

La velocidad del escape ${\vec {V}}_{\text{e}}$ En el sistema de referencia del observador, la velocidad está relacionada con la velocidad del escape en el sistema de referencia del cohete. $v_{\text{e}}$ por: ${\vec {v}}_{\text{e}}={\vec {V}}_{\text{e}}-{\vec {V}}$ de este modo, ${\vec {V}}_{\text{e}}={\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}$ Al resolver esto se obtiene: ${\vec {P}}_{\Delta t}-{\vec {P}}_{0}=m\Delta {\vec {V}}+{\vec {v}}_{\text{e}}\Delta m-\Delta m\Delta {\vec {V}}$ Si ${\vec {V}}$ y ${\vec {v}}_{\text{e}}$ son opuestos, ${\vec {F}}_{\text{i}}$ tienen la misma dirección que ${\vec {V}}$ , $\Delta m\Delta {\vec {V}}$ son insignificantes (ya que $dm\,d{\vec {v}}\to 0$ ), y usando $dm=-\Delta m$ (ya que expulsar un positivo $\Delta m$ da como resultado una disminución de la masa del cohete en el tiempo), $\sum _{i}F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}$

Si no hay fuerzas externas entonces ${\textstyle \sum _{i}F_{i}=0}$ ( conservación del momento lineal ) y $-m{\frac {dV}{dt}}=v_{\text{e}}{\frac {dm}{dt}}$

Suponiendo que $v_{\text{e}}$ es constante (conocida como la hipótesis de Tsiolkovsky ^{[ 2 ]} ), por lo que no está sujeta a integración, entonces la ecuación anterior puede integrarse de la siguiente manera: $-\int _{V}^{V+\Delta V}\,dV={v_{e}}\int _{m_{0}}^{m_{f}}{\frac {dm}{m}}$

Esto produce entonces $\Delta V=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}$ o equivalentemente $m_{f}=m_{0}e^{-\Delta V\ /v_{\text{e}}}$ o $m_{0}=m_{f}e^{\Delta V/v_{\text{e}}}$ o $m_{0}-m_{f}=m_{f}\left(e^{\Delta V/v_{\text{e}}}-1\right)$ dónde $m_{0}$ es la masa total inicial incluyendo el propulsor, $m_{f}$ la misa final y $v_{\text{e}}$ la velocidad del escape del cohete con respecto al cohete (el impulso específico , o, si se mide en el tiempo, ese multiplicado por la aceleración de la gravedad en la Tierra). Si $v_{\text{e}}$ No es constante, es posible que no tengamos ecuaciones de cohetes tan simples como las formas anteriores. Muchas investigaciones sobre la dinámica de cohetes se basaron en la constante de Tsiolkovsky. $v_{\text{e}}$ hipótesis.

El valor $m_{0}-m_{f}$ es la masa total de propelente consumido.

$\Delta V$ ( delta-v ) es la integral temporal de la magnitud de la aceleración producida por el motor del cohete (lo que sería la aceleración real si no hubiera fuerzas externas). En el vacío, cuando la aceleración coincide con la velocidad, esto representa un aumento de la rapidez. Cuando la aceleración coincide con la desaceleración, representa una disminución de la rapidez. Por supuesto, la gravedad y la resistencia del aire también aceleran el vehículo, y pueden sumarse o restarse al cambio de velocidad experimentado por este. Por lo tanto, delta-v no siempre representa el cambio real de rapidez o velocidad del vehículo.

Otras derivaciones

Basado en impulsos

La ecuación también puede derivarse de la integral básica de la aceleración en forma de fuerza (empuje) sobre la masa. Representando la ecuación delta-v de la siguiente manera: $\Delta v=\int _{t_{0}}^{t_{f}}{\frac {|T|}{{m_{0}}-{t}\Delta {m}}}~dt$

donde T es empuje, $m_{0}$ es la masa inicial (húmeda) y $\Delta m$ es la masa inicial menos la masa final (seca),

y dándose cuenta de que la integral de una fuerza resultante en el tiempo es el impulso total, suponiendo que el empuje es la única fuerza involucrada, $\int _{t_{0}}^{t_{f}}F~dt=J$

La integral resulta ser: $J~{\frac {\ln({m_{0}})-\ln({m_{f}})}{\Delta m}}$

Al darse cuenta de que el impulso sobre el cambio de masa es equivalente a la fuerza sobre el caudal másico del propulsor (p), que a su vez es equivalente a la velocidad de escape, ${\frac {J}{\Delta m}}={\frac {F}{p}}=V_{\text{exh}}$ La integral puede igualarse a $\Delta v=V_{\text{exh}}~\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right)$

Aceleración basada

Imaginemos un cohete en reposo en el espacio sin que actúen fuerzas sobre él ( primera ley del movimiento de Newton ). Desde el momento en que se enciende su motor (reloj puesto a cero), el cohete expulsa una masa de gas a un caudal másico constante R (kg/s) y a una velocidad de escape relativa al cohete v _e (m/s). Esto crea una fuerza constante F que impulsa el cohete, igual a R × v _e . El cohete está sometido a una fuerza constante, pero su masa total disminuye de forma constante debido a la expulsión de gas. Según la segunda ley del movimiento de Newton , su aceleración en cualquier instante t es igual a su fuerza propulsora F dividida por su masa actual m . $~a={\frac {dv}{dt}}=-{\frac {F}{m(t)}}=-{\frac {Rv_{\text{e}}}{m(t)}}$

Ahora bien, la masa de combustible que el cohete tiene inicialmente a bordo es igual a m ₀ – m _f . Para un caudal másico constante R , se necesitará un tiempo T = ( m ₀ – m _f )/ R para quemar todo este combustible. Integrando ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo desde 0 hasta T (y teniendo en cuenta que R = dm/dt permite una sustitución en el lado derecho) se obtiene: $~\Delta v=v_{f}-v_{0}=-v_{\text{e}}\left[\ln m_{f}-\ln m_{0}\right]=~v_{\text{e}}\ln \left({\frac {m_{0}}{m_{f}}}\right).$

Límite de expulsión de "pastillas" de masa finita

La ecuación del cohete también se puede derivar como el caso límite del cambio de velocidad para un cohete que expulsa su combustible en forma de $N$ los gránulos consecutivamente, como $N\to \infty$ , con una velocidad de escape efectiva $v_{\text{eff}}$ de tal manera que la energía mecánica ganada por unidad de masa de combustible viene dada por ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}v_{\text{eff}}^{2}}$ .

En el marco del centro de masas del cohete, si una pastilla de masa $m_{p}$ es expulsado a velocidad $u$ y la masa restante del cohete es $m$ , la cantidad de energía convertida para aumentar la energía cinética del cohete y del proyectil es ${\tfrac {1}{2}}m_{p}v_{\text{eff}}^{2}={\tfrac {1}{2}}m_{p}u^{2}+{\tfrac {1}{2}}m(\Delta v)^{2}.$

Utilizando la conservación del momento en el sistema de referencia del cohete justo antes de la eyección, ${\textstyle u=\Delta v{\tfrac {m}{m_{p}}}}$ , de donde encontramos $\Delta v=v_{\text{eff}}{\frac {m_{p}}{\sqrt {m(m+m_{p})}}}.$

Dejar $\phi$ sea la fracción de masa de combustible inicial a bordo y $m_{0}$ la masa inicial de combustible del cohete. Divida la masa total de combustible. $\phi m_{0}$ en $N$ pastillas discretas, cada una de masa $m_{p}=\phi m_{0}/N$ La masa restante del cohete después de la eyección $j$ entonces los pellets son $m=m_{0}(1-j\phi /N)$ . El cambio de velocidad general después de la eyección $j$ los pellets son la suma ^{[ 5 ]} $\Delta v=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{\sqrt {(1-j\phi /N)(1-j\phi /N+\phi /N)}}}$

Observe que para grandes $N$ el último término del denominador $\phi /N\ll 1$ y puede descuidarse para dar $\Delta v\approx v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\phi /N}{1-j\phi /N}}=v_{\text{eff}}\sum _{j=1}^{j=N}{\frac {\Delta x}{1-x_{j}}}$ dónde ${\textstyle \Delta x={\frac {\phi }{N}}}$ y ${\textstyle x_{j}={\frac {j\phi }{N}}}$ .

Como $N\rightarrow \infty$ Esta suma de Riemann se convierte en la integral definida. $\lim _{N\to \infty }\Delta v=v_{\text{eff}}\int _{0}^{\phi }{\frac {dx}{1-x}}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {1}{1-\phi }}=v_{\text{eff}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}},$ ya que la masa final restante del cohete es $m_{f}=m_{0}(1-\phi )$ .

relatividad especial

Si se tiene en cuenta la relatividad especial , se puede derivar la siguiente ecuación para un cohete relativista , ^{[ 6 ]} con $\Delta v$ nuevamente representando la velocidad final del cohete (después de expulsar toda su masa de reacción y ser reducida a una masa en reposo de $m_{1}$ ) en el sistema de referencia inercial donde el cohete partió del reposo (con la masa en reposo incluyendo el combustible siendo $m_{0}$ inicialmente), y $c$ que representa la velocidad de la luz en el vacío: ${\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{\text{e}}}}$

Escribiendo ${\textstyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$ como $R$ permite que esta ecuación se reorganice como ${\frac {\Delta v}{c}}={\frac {R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}-1}{R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}+1}}$

Luego, utilizando la identidad ${\textstyle R^{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{\text{e}}}{c}}\ln R\right]}$ (aquí "exp" denota la función exponencial ; véase también el logaritmo natural , así como la identidad de "potencia" en identidades logarítmicas ) y la identidad ${\textstyle \tanh x={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$ ( véase función hiperbólica ), esto es equivalente a $\Delta v=c\tanh \left({\frac {v_{\text{e}}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)$

Términos de la ecuación

Delta- v

Delta- v (literalmente " cambio de velocidad "), simbolizado como Δv y pronunciado delta-vee , tal como se usa en la dinámica de vuelo de naves espaciales , es una medida del impulso necesario para realizar una maniobra como el despegue o el aterrizaje en un planeta o luna, o una maniobra orbital en el espacio . Es una magnitud escalar cuyas unidades son velocidad . En este contexto, no es lo mismo que el cambio físico de velocidad del vehículo.

El delta- v , producido por motores de reacción como los de cohetes , es proporcional al empuje por unidad de masa y al tiempo de combustión, y se utiliza para determinar la masa de propulsor necesaria para la maniobra dada mediante la ecuación del cohete.

Para múltiples maniobras, delta- v se suma linealmente.

Para las misiones interplanetarias, el delta- v se suele representar en un gráfico circular que muestra el delta- v necesario para la misión en función de la fecha de lanzamiento.

Fracción de masa

En ingeniería aeroespacial , la fracción de masa de propulsor es la porción de la masa de un vehículo que no llega a su destino y se quema como propulsor, y se utiliza habitualmente como medida del rendimiento del vehículo. En otras palabras, la fracción de masa de propulsor es la relación entre la masa de propulsor y la masa inicial del vehículo. En una nave espacial, el destino suele ser una órbita, mientras que en una aeronave es su lugar de aterrizaje. Una mayor fracción de masa representa un menor peso en el diseño. Otra medida relacionada es la fracción de carga útil , que es la fracción del peso inicial que corresponde a la carga útil.

Si bien la formulación original de la ecuación del cohete de Tsiolkovsky no utiliza directamente la fracción de masa, esta puede derivarse de la relación utilizada entre la masa inicial y la final, o ${\frac {m_{0}}{m_{f}}}={\frac {m_{f}+m_{p}}{m_{f}}}={\frac {m_{p}}{m_{f}}}+1$ .

Velocidad de escape efectiva

La velocidad de escape efectiva se suele especificar como un impulso específico y se relacionan entre sí mediante: $v_{\text{e}}=g_{0}I_{\text{sp}},$ dónde

$I_{\text{sp}}$ es el impulso específico en segundos,
$v_{\text{e}}$ es el impulso específico medido en m/s , que es lo mismo que la velocidad de escape efectiva medida en m/s (o ft/s si g está en ft/s ² ),
$g_{0}$ es la gravedad estándar , 9,80665 m/s ² (en unidades imperiales 32,174 ft/s ² ).

Aplicabilidad

La ecuación del cohete captura los aspectos esenciales de la física del vuelo de cohetes en una sola ecuación corta. También es válida para vehículos de reacción tipo cohete siempre que la velocidad efectiva de escape sea constante, y puede sumarse o integrarse cuando la velocidad efectiva de escape varía. La ecuación del cohete solo considera la fuerza de reacción del motor del cohete; no incluye otras fuerzas que puedan actuar sobre un cohete, como las fuerzas aerodinámicas o gravitatorias . Por lo tanto, al usarla para calcular el requerimiento de propulsor para el lanzamiento desde (o descenso propulsado hacia) un planeta con atmósfera, los efectos de estas fuerzas deben incluirse en el requerimiento de delta-V (ver Ejemplos a continuación). En lo que se ha llamado "la tiranía de la ecuación del cohete", existe un límite a la cantidad de carga útil que el cohete puede transportar, ya que mayores cantidades de propulsor incrementan el peso total y, por lo tanto, también aumentan el consumo de combustible. ^{[ 7 ]} La ecuación no se aplica a sistemas que no sean cohetes, como el frenado aerodinámico , los lanzamientos de cañones , los ascensores espaciales , los bucles de lanzamiento , la propulsión por cable o las velas solares .

La ecuación del cohete se puede aplicar a maniobras orbitales para determinar la cantidad de propulsor necesaria para cambiar a una órbita nueva específica, o para encontrar la nueva órbita como resultado de una combustión de propulsor determinada. Al aplicarla a maniobras orbitales, se asume una maniobra impulsiva , en la que el propulsor se descarga y se aplica delta-v instantáneamente. Esta suposición es relativamente precisa para combustións de corta duración, como las correcciones de trayectoria y las maniobras de inserción orbital. A medida que aumenta la duración de la combustión, el resultado es menos preciso debido al efecto de la gravedad sobre el vehículo durante la maniobra. Para propulsión de bajo empuje y larga duración, como la propulsión eléctrica , se utilizan análisis más complejos basados en la propagación del vector de estado de la nave espacial y la integración del empuje para predecir el movimiento orbital.

Ejemplos

Suponga una velocidad de escape de 4500 metros por segundo (15 000 pies/s) y una $\Delta v$ de 9700 metros por segundo (32 000 pies/s) (Tierra a LEO , incluyendo $\Delta v$ para superar la gravedad y la resistencia aerodinámica).

Cohete de una sola etapa para alcanzar la órbita : $1-e^{-9.7/4.5}$ = 0,884, por lo tanto, el 88,4% de la masa total inicial debe ser propulsor. El 11,6% restante es para los motores, el tanque y la carga útil.
Dos etapas a órbita : supongamos que la primera etapa debe proporcionar una $\Delta v$ de 5.000 metros por segundo (16.000 pies/s) ; $1-e^{-5.0/4.5}$ = 0,671, por lo tanto, el 67,1% de la masa total inicial debe ser propulsor para la primera etapa. La masa restante es el 32,9%. Después de desechar la primera etapa, queda una masa igual a este 32,9%, menos la masa del tanque y los motores de la primera etapa. Suponiendo que esto es el 8% de la masa total inicial, entonces queda el 24,9%. La segunda etapa debe proporcionar una $\Delta v$ de 4.700 metros por segundo (15.000 pies/s) ; $1-e^{-4.7/4.5}$ = 0,648, por lo tanto, el 64,8% de la masa restante debe ser propulsor, lo que representa el 16,2% de la masa total original, y el 8,7% restante se destina al tanque y los motores de la segunda etapa, la carga útil y, en el caso de un transbordador espacial, también el orbitador. Así, en conjunto, el 16,7% de la masa de lanzamiento original está disponible para todos los motores, los tanques y la carga útil.

Etapas

En el caso de etapas de cohete con empuje secuencial , la ecuación se aplica a cada etapa, donde la masa inicial es la masa total del cohete tras descartar la etapa anterior, y la masa final es la masa total del cohete justo antes de descartar la etapa en cuestión. El impulso específico puede variar en cada etapa.

Por ejemplo, si el 80% de la masa de un cohete es el combustible de la primera etapa, el 10% es la masa seca de la primera etapa y el 10% es el resto del cohete, entonces

${\begin{aligned}\Delta v\ &=v_{\text{e}}\ln {100 \over 100-80}\\&=v_{\text{e}}\ln 5\\&=1.61v_{\text{e}}.\\\end{aligned}}$

Con tres etapas similares, posteriormente más pequeñas, con la misma $v_{\text{e}}$ Para cada etapa, se obtiene:

$\Delta v\ =3v_{\text{e}}\ln 5\ =4.83v_{\text{e}}$

y la carga útil es 10% × 10% × 10% = 0,1% de la masa inicial.

Un cohete SSTO comparable , también con una carga útil del 0,1%, podría tener una masa del 11,1% para tanques de combustible y motores, y del 88,8% para combustible. Esto daría

$\Delta v\ =v_{\text{e}}\ln(100/11.2)\ =2.19v_{\text{e}}.$

Si el motor de una nueva etapa se enciende antes de que se haya desechado la etapa anterior y los motores que funcionan simultáneamente tienen un impulso específico diferente (como suele ocurrir con los propulsores de cohetes sólidos y una etapa de combustible líquido), la situación se complica.

Véase también

Presupuesto Delta-v : Estimación del cambio total en la velocidad de una misión espacial.
Problema del Jeep : problema matemático de ubicación de depósitos de combustible.
Relación de masas : medida de la eficiencia de un cohete basada en la masa de su propulsor. Páginas que muestran breves descripciones de objetivos de redirección.
Efecto Oberth : La aplicación de delta-v en un pozo gravitatorio aumenta la velocidad final.
Cohete relativista : tipo de nave espacial
Reversibilidad de las órbitas : campo de la mecánica clásica que se ocupa del movimiento de las naves espaciales. Páginas que muestran breves descripciones de los objetivos de redirección.
Robert H. Goddard – Añadió términos para la gravedad y la resistencia en el vuelo vertical.
Propulsión de naves espaciales : método utilizado para acelerar las naves espaciales.
Ley de epónimo de Stigler : Observación de que ningún descubrimiento científico recibe el nombre de su descubridor.

Referencias

1 2 K. Ціолковскій, Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами, 1903 (disponible en línea aquí Archivado el 15 de agosto de 2011 en Wayback Machine en un PDF RARed )
1 2 3 Tsiolkovsky, K. "Máquinas voladoras reactivas" (PDF) .
1 2 Moore, William (1810). "Sobre el movimiento de los cohetes tanto en medios sin resistencia como con resistencia" . Journal of Natural Philosophy, Chemistry & the Arts . 27 : 276–285 .
1 2 Moore, William (1813). Un tratado sobre el movimiento de los cohetes: al que se añade un ensayo sobre artillería naval, en teoría y práctica, etc. G. & S. Robinson.
↑ Blanco, Philip (noviembre de 2019). "Un enfoque discreto y energético para la propulsión de cohetes". Physics Education . 54 (6): 065001. Bibcode : 2019PhyEd..54f5001B . doi : 10.1088/1361-6552/ab315b . S2CID 202130640 .
↑ Prólogo, Robert L. "Una derivación transparente de la ecuación del cohete relativista" (véase el lado derecho de la ecuación 15 en la última página, donde R es la relación entre la masa inicial y la final, y w es la velocidad de escape, que corresponde a v _e en la notación de este artículo).
↑ "La tiranía de la ecuación del cohete" . NASA.gov . Archivado del original el 6 de marzo de 2022. Consultado el 18 de abril de 2016 .

Enlaces externos

Cómo derivar la ecuación del cohete
Calculadora de relatividad: aprenda las ecuaciones de cohetes de Tsiolkovsky.
Gráfico y calculadora de las ecuaciones de cohetes de Tsiolkovsky en WolframAlpha.

[here-1] 1 2 K. Ціолковскій, Изслѣдованіе мировыхъ пространствъ реактивными приборами, 1903 (disponible en línea aquí Archivado el 15 de agosto de 2011 en Wayback Machine en un PDF RARed )

[ReactiveFlyingMachines-2] 1 2 3 Tsiolkovsky, K. "Máquinas voladoras reactivas" (PDF) .

[moore1810-3] 1 2 Moore, William (1810). "Sobre el movimiento de los cohetes tanto en medios sin resistencia como con resistencia" . Journal of Natural Philosophy, Chemistry & the Arts . 27 : 276–285 .

[moore-4] 1 2 Moore, William (1813). Un tratado sobre el movimiento de los cohetes: al que se añade un ensayo sobre artillería naval, en teoría y práctica, etc. G. & S. Robinson.

[discreteproof-5] Blanco, Philip (noviembre de 2019). "Un enfoque discreto y energético para la propulsión de cohetes". Physics Education . 54 (6): 065001. Bibcode : 2019PhyEd..54f5001B . doi : 10.1088/1361-6552/ab315b . S2CID 202130640 .

[6] Prólogo, Robert L. "Una derivación transparente de la ecuación del cohete relativista" (véase el lado derecho de la ecuación 15 en la última página, donde R es la relación entre la masa inicial y la final, y w es la velocidad de escape, que corresponde a v _e en la notación de este artículo).

[7] "La tiranía de la ecuación del cohete" . NASA.gov . Archivado del original el 6 de marzo de 2022. Consultado el 18 de abril de 2016 .

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