grupo clásico

Para${\displaystyle F=\mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$, el grupo lineal especial es

${\displaystyle \mathrm {SL} (n,F)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(F)\mid \det g=1\}.}$

Su álgebra de Lie es

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)=\{X\in M_{n}(F)\mid \operatorname {tr} (X)=0\}.}$

De este modo${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )}$consta de todos los rastros reales${\displaystyle n\times n}$matrices y${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$consta de todos los complejos sin rastro${\displaystyle n\times n}$matrices.

Una forma bilineal${\displaystyle \varphi }$es:

• simétrico si${\displaystyle \varphi (v,w)=\varphi (w,v)}$;
• alternante (o asimétrica, cuando${\displaystyle \operatorname {char} F\neq 2}$) si${\displaystyle \varphi (v,v)=0}$a pesar de${\displaystyle v}$, equivalentemente${\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v)}$. ^{[ 20 ]}

Una forma sesquilineal${\displaystyle h}$es:

• Hermitiano si${\displaystyle h(v,w)={\overline {h(w,v)}}}$;
• antihermítico si${\displaystyle h(v,w)=-{\overline {h(w,v)}}}$. ^{[ 21 ]}

Encima${\displaystyle \mathbb {R} }$Las formas bilineales simétricas no degeneradas se clasifican por su signatura.${\displaystyle (p,q)}$. Encima${\displaystyle \mathbb {C} }$, todas las formas bilineales simétricas no degeneradas de una dimensión dada son equivalentes. Las formas alternas no degeneradas existen solo en dimensión par, y sobre ambas${\displaystyle \mathbb {R} }$y${\displaystyle \mathbb {C} }$Todas esas formas son equivalentes. ^{[ 22 ]}

En un espacio vectorial complejo, multiplicar una forma antihermítica por${\displaystyle i}$produce una forma hermitiana, por lo que los dos casos conducen a los mismos grupos de isometría salvo un cambio de convención inofensivo. ^{[ 23 ]} En un espacio vectorial cuaterniónico, por el contrario, no hay formas bilineales no nulas, por lo que solo se dan los casos hermitiano y antihermitiano. ^{[ 24 ]}

Dejar${\displaystyle \varphi }$sea ​​una forma bilineal simétrica no degenerada.

Encima${\displaystyle \mathbb {R} }$, uno puede elegir una base en la que

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }I_{p,q}y,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),}$

dónde${\displaystyle p+q=n}$Su grupo de automorfismos es el grupo ortogonal indefinido

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )\mid g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I_{p,q}\}.}$

El subgrupo determinante${\displaystyle 1}$es el grupo ortogonal especial

${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)=\mathrm {O} (p,q)\cap \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} ).}$^{[ 25 ]}

Cuando${\displaystyle q=0}$Este es el grupo ortogonal compacto${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$, con determinante-${\displaystyle 1}$subgrupo${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$. ^{[ 26 ]}

Encima${\displaystyle \mathbb {C} }$, toda forma bilineal simétrica no degenerada es equivalente a la forma estándar

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }y.}$

Su grupo de automorfismos es el grupo ortogonal complejo.

${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )\mid g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\},}$

con determinante-${\displaystyle 1}$subgrupo${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$. ^{[ 27 ]}

Las álgebras de Lie correspondientes son

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} )\mid X^{\mathrm {T} }I_{p,q}+I_{p,q}X=0\},}$

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathrm {T} }+X=0\}.}$^{[ 28 ]}

Si

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

con tamaños de bloque${\displaystyle p\times p}$,${\displaystyle p\times q}$,${\displaystyle q\times p}$, y${\displaystyle q\times q}$, entonces la relación definitoria para${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$es equivalente a

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }A-C^{\mathrm {T} }C=I_{p},\qquad D^{\mathrm {T} }D-B^{\mathrm {T} }B=I_{q},\qquad A^{\mathrm {T} }B=C^{\mathrm {T} }D.}$

Escribiendo

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}P&Q\\R&S\end{pmatrix}},}$

se obtiene la forma de bloque

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{\mathrm {T} }&S\end{pmatrix}}\;|\;P^{\mathrm {T} }=-P,\ S^{\mathrm {T} }=-S\right\}.}$

De este modo${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )}$es el espacio de simetría antisimétrica compleja${\displaystyle n\times n}$matrices.

Dejar${\displaystyle \omega }$sea ​​una forma bilineal alternante no degenerada en un espacio vectorial de dimensión${\displaystyle 2n}$. Sobre cualquiera${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$, uno puede elegir una base en la que

${\displaystyle \omega (x,y)=x^{\mathrm {T} }J_{n}y,\qquad J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}$

Su grupo de automorfismos es el grupo simpléctico.

${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,F)=\{g\in \mathrm {GL} _{2n}(F)\mid g^{\mathrm {T} }J_{n}g=J_{n}\},\qquad F=\mathbb {R} ,\mathbb {C} .}$

Muchos autores escriben${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,\mathbb {R} )}$y${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,\mathbb {C} )}$para estos grupos. ^{[ 29 ]}

Su álgebra de Lie es

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)=\{X\in M_{2n}(F)\mid X^{\mathrm {T} }J_{n}+J_{n}X=0\}.}$

De forma equivalente, cada elemento tiene forma de bloque.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}}$

con${\displaystyle B}$y${\displaystyle C}$simétrico. ^{[ 30 ]}

Dejar${\displaystyle h}$sea ​​una forma hermitiana no degenerada en un espacio vectorial complejo${\displaystyle V}$de dimensión${\displaystyle n}$. Uno puede elegir una base en la que

${\displaystyle h(z,w)=z^{*}I_{p,q}w,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),}$

dónde${\displaystyle p+q=n}$. ^{[ 31 ]}

Su grupo de automorfismos es el grupo unitario.

${\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )\mid g^{*}I_{p,q}g=I_{p,q}\}.}$

El subgrupo determinante${\displaystyle 1}$es el grupo unitario especial

${\displaystyle \mathrm {SU} (p,q)=\mathrm {U} (p,q)\cap \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {C} ).}$^{[ 32 ]}

Cuando${\displaystyle q=0}$Este es el grupo unitario compacto${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$, con determinante-${\displaystyle 1}$subgrupo${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$. ^{[ 33 ]}

Su álgebra de Lie es

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} )\mid X^{*}I_{p,q}+I_{p,q}X=0\}.}$^{[ 34 ]}

Si

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}$

entonces la relación definitoria es equivalente a

${\displaystyle A^{*}A-C^{*}C=I_{p},\qquad D^{*}D-B^{*}B=I_{q},\qquad A^{*}B=C^{*}D.}$

En forma de bloque,

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{*}&R\end{pmatrix}}\;|\;P^{*}=-P,\ R^{*}=-R\right\}.}$

El álgebra de Lie unitaria especial es la subálgebra sin traza.

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(p,q)=\{X\in {\mathfrak {u}}(p,q)\mid \operatorname {tr} (X)=0\}.}$

El grupo${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )}$consiste en los endomorfismos cuaterniónicos-lineales invertibles del espacio vectorial derecho${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$. Mediante la incrustación compleja anterior, se realiza como un subgrupo de Lie real de${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}$que consiste en matrices de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}},\qquad A,B\in M_{n}(\mathbb {C} ).}$^{[ 36 ]}

Su álgebra de Lie es, por lo tanto,

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{{\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;A,B\in M_{n}(\mathbb {C} )\right\}.}$

La forma real correspondiente de${\displaystyle \mathrm {SL} (2n,\mathbb {C} )}$se denota${\displaystyle \mathrm {SU} ^{*}(2n)}$y como grupo de Lie es isomorfo al grupo tradicionalmente escrito${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )}$y es el subgrupo de${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )}$de elementos de norma reducida 1. ^{[ 37 ]}

Su álgebra de Lie es

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}^{*}(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&-{\overline {B}}\\B&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;\operatorname {Re} \operatorname {tr} (A)=0\right\}.}$

Dejar${\displaystyle V=\mathbb {H} ^{p+q}}$y dejar

${\displaystyle B(w,z)=w^{*}I_{p,q}z,\qquad I_{p,q}=\operatorname {diag} (I_{p},-I_{q}),}$

es una forma hermitiana cuaterniónica no degenerada. Su grupo de isometría es el grupo unitario cuaterniónico.

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (p+q,\mathbb {H} )\mid g^{*}I_{p,q}g=I_{p,q}\}.}$^{[ 38 ]}

Cuando${\displaystyle q=0}$Este es el grupo compacto que se suele escribir${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$. ^{[ 39 ]}

Considerado como un subgrupo de${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}$, el grupo${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)}$conserva una forma hermitiana compleja de firma${\displaystyle (2p,2q)}$y una forma alternante compleja no degenerada. ^{[ 40 ]} Su álgebra de Lie es

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\{X\in M_{p+q}(\mathbb {H} )\mid X^{*}I_{p,q}+I_{p,q}X=0\}.}$^{[ 41 ]}

Si

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

con bloques cuaterniónicos, entonces la relación definitoria es equivalente a

${\displaystyle A^{*}A-C^{*}C=I_{p},\qquad D^{*}D-B^{*}B=I_{q},\qquad A^{*}B=C^{*}D.}$

En forma de bloque,

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{{\begin{pmatrix}P&Q\\Q^{*}&R\end{pmatrix}}\;|\;P^{*}=-P,\ R^{*}=-R\right\}.}$

Dejar${\displaystyle V=\mathbb {H} ^{n}}$y consideremos la forma antihermítica cuaterniónica

${\displaystyle C(x,y)=x^{*}jy.}$

Su grupo de isometría es el grupo de Lie real.

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n),}$

que es una forma real de${\displaystyle \mathrm {SO} (2n,\mathbb {C} )}$. ^{[ 42 ]}

De forma equivalente, si

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}},}$

entonces${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}$puede realizarse como subgrupo

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {SO} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta (g)=g\},}$

dónde${\displaystyle \theta (g)=-J_{n}{\overline {g}}J_{n}}$es la involución que define esta forma real. ^{[ 43 ]}

Su álgebra de Lie se denota${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n)}$. ^{[ 44 ]}

Una realización compleja estándar de${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}$es como el subgrupo de${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )}$preservando tanto la forma bilineal simétrica como la matriz de Gram

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\I_{n}&0\end{pmatrix}}}$

y la forma hermitiana con matriz de Gram

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}I_{n}&0\\0&-I_{n}\end{pmatrix}}.}$

De forma equivalente,

${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid g^{\mathrm {T} }Sg=S,\ g^{*}Hg=H\}.}$

Su álgebra de Lie es

${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(2n)=\left\{{\begin{pmatrix}A&B\\-{\overline {B}}&{\overline {A}}\end{pmatrix}}\;|\;A^{*}=-A,\ B^{\mathrm {T} }=-B\right\}.}$

Dejar${\displaystyle V}$frijol${\displaystyle n}$espacio vectorial de dimensión sobre${\displaystyle k}$. El grupo lineal general de${\displaystyle V}$es

${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\operatorname {Aut} _{k}(V),}$

y el grupo lineal especial es

${\displaystyle \mathrm {SL} (V)=\ker(\det \colon \mathrm {GL} (V)\to k^{\times }).}$

Tras elegir una base, estos se convierten en los grupos de matrices.${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$y${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(k)}$Sus cocientes proyectivos son el grupo lineal general proyectivo .${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$y el grupo lineal especial proyectivo${\displaystyle \mathrm {PSL} (V)}$. ^{[ 3 ]}

Los otros grupos clásicos surgen como grupos de automorfismos de formas no degeneradas. ^{[ 5 ] [ 12 ]}

Si${\displaystyle \omega }$es una forma bilineal alternante no degenerada en${\displaystyle V}$, su grupo de isometría es el grupo simpléctico

${\displaystyle \mathrm {Sp} (V,\omega )=\{g\in \mathrm {GL} (V)\mid \omega (gv,gw)=\omega (v,w)\ \forall v,w\in V\}.}$

Para${\displaystyle \dim V=2n}$, esto está escrito${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2n}(k)}$después de elegir una base.

Si${\displaystyle q}$es una forma cuadrática no degenerada en${\displaystyle V}$, su grupo de isometría es el grupo ortogonal

${\displaystyle \mathrm {O} (V,q)=\{g\in \mathrm {GL} (V)\mid q(gv)=q(v)\ \forall v\in V\}.}$

Cuando${\displaystyle \operatorname {char} (k)\neq 2}$, esto es equivalente al grupo que preserva la forma bilineal simétrica asociada. En característica  2, los grupos ortogonales todavía se definen a partir de formas cuadráticas, pero la relación con la forma bilineal asociada es más sutil. ^{[ 12 ]} Para grupos ortogonales sobre cuerpos generales, a menudo también se considera el subgrupo${\displaystyle \Omega (V,q)}$. En el caso isotrópico y en característica no 2, puede describirse como el núcleo de la norma espinorial , un homomorfismo de${\displaystyle \mathrm {SO} (V,q)}$(o más generalmente del subgrupo índice-2 apropiado de${\displaystyle \mathrm {O} (V,q)}$) a${\displaystyle k^{\times }/(k^{\times })^{2}}$En la teoría de grupos clásicos finitos, el grupo simple suele ser${\displaystyle \mathrm {P} \Omega (V,q)}$en vez de${\displaystyle \mathrm {PSO} (V,q)}$. ^{[ 45 ]}

Si${\displaystyle K/k}$es una extensión de campo cuadrática , o más generalmente si${\displaystyle K}$está equipado con una involución${\displaystyle \sigma }$, y${\displaystyle h}$es un no degenerado${\displaystyle \sigma }$-forma hermitiana en una dimensión finita${\displaystyle K}$-espacio vectorial${\displaystyle V}$, su grupo de isometría es un grupo unitario

${\displaystyle \mathrm {U} (V,h)=\{g\in \mathrm {GL} _{K}(V)\mid h(gv,gw)=h(v,w)\ \forall v,w\in V\}.}$

Su subgrupo derivado es el grupo unitario especial.${\displaystyle \mathrm {SU} (V,h)}$. ^{[ 12 ]}

También se tienen los grupos de similitud correspondientes.${\displaystyle \mathrm {GSp} }$,${\displaystyle \mathrm {GO} }$, y${\displaystyle \mathrm {GU} }$, cuyos elementos conservan la forma relevante salvo por la multiplicación por un escalar. Las versiones proyectivas se obtienen mediante el cociente por el centro. ^{[ 4 ]}

En el lenguaje de la geometría algebraica , un grupo algebraico lineal sobre${\displaystyle k}$es una afinidad suave${\displaystyle k}$-esquema de grupo, equivalente a un grupo cerrado suave${\displaystyle k}$-subgrupo de algunos${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$. ^{[ 4 ] [ 3 ]} Desde este punto de vista, los grupos clásicos conexos son los grupos reductivos conexos de tipos de Dynkin${\displaystyle A_{n}}$,${\displaystyle B_{n}}$,${\displaystyle C_{n}}$, y${\displaystyle D_{n}}$, junto con sus formas sobre cuerpos que no son algebraicamente cerrados. ^{[ 4 ]}

Los grupos clásicos divididos están representados por los siguientes ejemplos estándar:

• tipo${\displaystyle A_{n}}$:${\displaystyle \mathrm {SL} _{n+1}}$y${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n+1}}$;
• tipo${\displaystyle B_{n}}$:${\displaystyle \mathrm {SO} _{2n+1}}$y su cubierta de conexión sencilla${\displaystyle \mathrm {Spin} _{2n+1}}$;
• tipo${\displaystyle C_{n}}$:${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2n}}$y${\displaystyle \mathrm {PSp} _{2n}}$;
• tipo${\displaystyle D_{n}}$:${\displaystyle \mathrm {SO} _{2n}}$y${\displaystyle \mathrm {Spin} _{2n}}$. ^{[ 4 ] [ 3 ]}

Sobre un campo general, se obtienen grupos clásicos adicionales como formas internas o externas de estos grupos divididos. Por ejemplo, los grupos unitarios son formas externas de tipo${\displaystyle A_{n}}$, and many orthogonal or symplectic groups are classified by quadratic or hermitian forms.^[12][4]

When ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{q}}$ is a finite field, the groups of ${\displaystyle k}$-rational points of these algebraic groups yield the finite groups of Lie type. The classical families include groups such as ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(q)}$, ${\displaystyle \mathrm {PSU} _{n}(q)}$, ${\displaystyle \mathrm {PSp} _{2n}(q)}$, and the finite orthogonal groups.^[6]

Let ${\displaystyle A}$ be a central simple algebra over ${\displaystyle k}$, and let ${\displaystyle \tau \colon A\to A}$ be an involution. There are two basic cases.^[48]

If ${\displaystyle \tau }$ acts trivially on the center of ${\displaystyle A}$, then ${\displaystyle \tau }$ is said to be of the first kind. In characteristic different from two, involutions of the first kind are divided into two types, depending on whether they become adjoints of symmetric or alternating forms after tensoring ${\displaystyle A}$ with a separable closure of ${\displaystyle k}$, respectively:

• orthogonal involutions;
• symplectic involutions.^[48]

If the center of ${\displaystyle A}$ is a quadratic étale${\displaystyle k}$-algebra ${\displaystyle K}$ and ${\displaystyle \tau }$ induces the nontrivial ${\displaystyle k}$-automorphism of ${\displaystyle K}$, then ${\displaystyle \tau }$ is said to be unitary or of the second kind.^[48]

This trichotomy corresponds to the three classical families beyond the general linear group:

• orthogonal type for Dynkin types ${\displaystyle B_{n}}$ and ${\displaystyle D_{n}}$;
• tipo simpléctico para el tipo Dynkin${\displaystyle C_{n}}$;
• tipo unitario para formas externas de tipo Dynkin${\displaystyle A_{n}}$. ^{[ 48 ] [ 49 ]}

Para cualquier álgebra simple central${\displaystyle A}$, escribimos

${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(A)=A^{\times }}$

para el grupo de elementos invertibles, y

${\displaystyle \operatorname {SL} _{1}(A)=\ker(\operatorname {Nrd} \colon A^{\times }\to k^{\times })}$

para el núcleo de la norma reducida . Estas dan las formas internas de tipo${\displaystyle A}$. ^{[ 49 ]}

Si${\displaystyle (A,\tau )}$es del primer tipo, entonces

${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,\tau )=\{a\in A^{\times }\mid \tau (a)a=1\}}$

es el grupo de isometrías y

${\displaystyle \operatorname {Sim} (A,\tau )=\{a\in A^{\times }\mid \tau (a)a\in k^{\times }\}}$

es el grupo de similitudes . El escalar${\displaystyle \mu (a)=\tau (a)a}$se denomina multiplicador de la similitud. ^{[ 48 ]} (De forma más general, se pueden definir primero mediante sus esquemas de grupo asociados . ^{[ 48 ]} )

Según el tipo de${\displaystyle \tau }$, escribimos:

• ${\displaystyle \mathrm {O} (A,\tau )=\operatorname {Iso} (A,\tau )}$,${\displaystyle \mathrm {GO} (A,\tau )=\operatorname {Sim} (A,\tau )}$, y${\displaystyle \mathrm {PGO} (A,\tau )=\operatorname {Aut} (A,\tau )}$en el caso ortogonal;
• ${\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )=\operatorname {Iso} (A,\tau )}$,${\displaystyle \mathrm {GSp} (A,\tau )=\operatorname {Sim} (A,\tau )}$, y${\displaystyle \mathrm {PGSp} (A,\tau )=\operatorname {Aut} (A,\tau )}$en el caso simpléctico. ^{[ 48 ]}

Si${\displaystyle (B,\tau )}$es unitaria, con centro un álgebra étale cuadrática${\displaystyle K/k}$, entonces

${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )=\{b\in B^{\times }\mid \tau (b)b=1\}}$,

${\displaystyle \mathrm {GU} (B,\tau )=\{b\in B^{\times }\mid \tau (b)b\in k^{\times }\}}$,

y

${\displaystyle \mathrm {PGU} (B,\tau )=\operatorname {Aut} _{K}(B,\tau ).}$

El núcleo de la norma reducida en${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )}$se denota

${\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )=\ker(\operatorname {Nrd} \colon \mathrm {U} (B,\tau )\to K^{\times }),}$

y da el grupo semisimple simplemente conexo de tipo unitario. ^{[ 48 ]}

En el caso simpléctico,${\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )}$es el grupo simplemente conectado y${\displaystyle \mathrm {PGSp} (A,\tau )}$su cociente adjunto; en el caso unitario,${\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )}$es la forma simplemente conectada y${\displaystyle \mathrm {PGU} (B,\tau )}$la forma adjunta correspondiente. ^{[ 48 ] [ 49 ]}

Los grupos con valores en cuerpos discutidos anteriormente se recuperan cuando se divide el álgebra. ^{[ 48 ]}

Si${\displaystyle A=\operatorname {End} _{k}(V)}$y${\displaystyle \tau }$es la involución adjunta de una forma bilineal alternada no degenerada${\displaystyle h}$en${\displaystyle V}$, entonces

${\displaystyle \mathrm {Sp} (A,\tau )=\mathrm {Sp} (V,h)}$,

y se recupera el grupo simpléctico ordinario. ^{[ 48 ]}

Si${\displaystyle A=\operatorname {End} _{k}(V)}$y${\displaystyle \tau }$es la involución adjunta de una forma bilineal simétrica no degenerada, equivalentemente de una forma cuadrática no degenerada.${\displaystyle q}$, entonces

${\displaystyle \mathrm {O} (A,\tau )=\mathrm {O} (V,q)}$,

y se recupera el grupo ortogonal ordinario. ^{[ 48 ]}

Si${\displaystyle K/k}$es una extensión de campo cuadrática,${\displaystyle B=\operatorname {End} _{K}(V)}$, y${\displaystyle \tau }$es adjunto a una forma hermitiana no degenerada en el${\displaystyle K}$-espacio${\displaystyle V}$, entonces

${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )=\mathrm {U} (V,h)}$

y

${\displaystyle \mathrm {SU} (B,\tau )=\mathrm {SU} (V,h)}$,

de este modo se recuperan los grupos unitarios usuales y los grupos unitarios especiales. ^{[ 48 ]}

También hay una descripción dividida de las formas internas del tipo${\displaystyle A}$. Si el álgebra étale cuadrática se divide,

${\displaystyle K\cong k\times k,}$

entonces${\displaystyle B}$es isomorfo a${\displaystyle A\times A^{\mathrm {op} }}$con la involución de intercambio. En ese caso

${\displaystyle \mathrm {U} (B,\tau )\cong \operatorname {GL} _{1}(A),\qquad \mathrm {SU} (B,\tau )\cong \operatorname {SL} _{1}(A),\qquad \mathrm {PGU} (B,\tau )\cong \mathrm {PGL} _{1}(A).}$

Así, el mismo formalismo incluye tanto las formas internas como externas del tipo${\displaystyle A}$. ^{[ 48 ]}

En el lado ortogonal, la estructura del grupo está regida por el álgebra de Clifford asociada . Para una involución ortogonal${\displaystyle (A,\tau )}$, se tiene un discriminante y un álgebra de Clifford; en grado par, el centro del álgebra de Clifford par determina el análogo del usual${\displaystyle +}$-componente, y la cubierta simplemente conexa correspondiente es el grupo de espín . En el caso dividido, esto recupera los grupos ordinarios

${\displaystyle \mathrm {PGO} ^{+}(V,q)}$

y

${\displaystyle \mathrm {Spin} (V,q)}$. ^{[ 50 ]}

En la clasificación de grupos clásicos reales (y locales ), los datos ortogonales requieren conocer tanto el álgebra como el álgebra.${\displaystyle A}$y la involución. (Y, si se desean los grupos simplemente conexos, el álgebra de Clifford correspondiente). En característica diferente de${\displaystyle 2}$, esto rige el paso habitual de una forma cuadrática a su álgebra de Clifford par y grupo de espín. ^{[ 50 ]}

Encima${\displaystyle \mathbb {R} }$, el marco de álgebra con involución recupera todos los grupos de Lie reales clásicos. En particular, las familias cuaterniónicas surgen solo después de permitir el álgebra simple central no conmutativa${\displaystyle \mathbb {H} }$. ^{[ 51 ] [ 49 ]}

En la siguiente tabla, las etiquetas split y quaterniónico se refieren al álgebra simple central subyacente, no necesariamente al grupo algebraico real resultante. Por lo tanto, split significa que el álgebra es un álgebra matricial completa sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$, mientras que cuaterniónico significa que el álgebra es un álgebra matricial sobre${\displaystyle \mathbb {H} }$Las etiquetas interior y exterior se utilizan únicamente en tipografía${\displaystyle A}$: interior significa una forma interior del grupo dividido de tipo${\displaystyle A}$, que surge de un elemento central simple${\displaystyle \mathbb {R} }$-álgebra con centro${\displaystyle \mathbb {R} }$, mientras que exterior significa una forma unitaria que surge de la extensión cuadrática${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$.

Combinado con la clasificación de formas cuadráticas, hermíticas y antihermíticas sobre${\displaystyle \mathbb {R} }$, esto proporciona la lista estándar de formas reales de los grupos clásicos. En Los grupos${\displaystyle \mathrm {SL} _{m}(\mathbb {H} )\cong \mathrm {SU} ^{*}(2m)}$,${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)}$, y${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}$son grupos clásicos sobre el terreno${\displaystyle \mathbb {R} }$aunque no se definen en términos ordinarios${\displaystyle \mathbb {R} }$-espacios vectoriales solamente. ^{[ 51 ] [ 49 ]}

Para el campo real, para extensiones finitas de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$y para varios otros cuerpos locales estándar, las únicas álgebras de división central que admiten involución de primer tipo son el propio cuerpo y las álgebras de cuaterniones. ^{[ 52 ]} Así, sobre un cuerpo local, los primeros grupos clásicos no obtenidos a partir de formas ordinarias con valores en el cuerpo ya requieren el punto de vista del álgebra simple central, pero al menos en líneas generales la clasificación es similar a la del cuerpo real.

Algunos ejemplos típicos son:

• si${\displaystyle F}$es una extensión finita de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$y${\displaystyle D}$es el álgebra de división de cuaterniones sobre${\displaystyle F}$, entonces${\displaystyle \mathrm {SL} _{1}(D)}$es la forma interna de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}}$y, en general,${\displaystyle \mathrm {SL} _{m}(D)}$es una forma interna de${\displaystyle \mathrm {SL} _{2m}}$; ^{[ 49 ]}
• si${\displaystyle h}$es una forma hermitiana no degenerada en una derecha${\displaystyle D}$-espacio vectorial${\displaystyle V}$, y${\displaystyle \tau _{h}}$es la involución adjunta en${\displaystyle \operatorname {End} _{D}(V)}$, entonces${\displaystyle \mathrm {Sp} (\operatorname {End} _{D}(V),\tau _{h})}$es un grupo clásico de tipo${\displaystyle C_{n}}$; encima${\displaystyle \mathbb {R} }$con${\displaystyle D=\mathbb {H} }$esta construcción da a los grupos${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)}$; ^{[ 49 ] [ 51 ]}
• si${\displaystyle s}$es una forma antihermítica no degenerada sobre${\displaystyle D}$, la involución adjunta en${\displaystyle \operatorname {End} _{D}(V)}$es de tipo ortogonal, y los grupos ortogonales y de espín asociados son formas no escindidas de tipos${\displaystyle B_{n}}$o${\displaystyle D_{n}}$; encima${\displaystyle \mathbb {R} }$con${\displaystyle D=\mathbb {H} }$, el caso de dimensión par produce${\displaystyle \mathrm {SO} ^{*}(2n)}$. ^{[ 49 ] [ 51 ]}