Dividir un círculo en áreas

En geometría , el problema de dividir un círculo en áreas mediante un polígono inscrito con n lados de tal manera que se maximice el número de áreas creadas por las aristas y diagonales , a veces llamado problema del círculo de Moser , tiene una solución por un método inductivo. El mayor número posible de regiones, r _G =${\displaystyle {n \elige 4}+{n \elige 2}+1}$ , dando la secuencia 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163 , 256, ... ( OEIS : A000127 ). Aunque los primeros cinco términos coinciden con la progresión geométrica 2 ^{n − 1} , se desvía en n = 6 , mostrando el riesgo de generalizar a partir de solo unas pocas observaciones.

Si hay n puntos en la circunferencia y se añade un punto más, se pueden trazar n líneas desde el nuevo punto hasta puntos previamente existentes. Son posibles dos casos. En el primer caso ( a ), la nueva línea pasa por un punto en el que se cruzan dos o más líneas antiguas (entre puntos previamente existentes). En el segundo caso ( b ), la nueva línea cruza cada una de las líneas antiguas en un punto diferente. Será útil conocer el siguiente hecho.

Lema . El nuevo punto A puede elegirse de modo que el caso b ocurra para cada una de las nuevas líneas.

Demostración . Para el caso a , tres puntos deben estar en una línea: el nuevo punto A , el antiguo punto O hasta el que se dibuja la línea y el punto I donde se intersecan dos de las antiguas líneas. Hay n puntos antiguos O y, por lo tanto, un número finito de puntos I donde se intersecan dos de las antiguas líneas. Para cada O e I , la línea OI corta el círculo en un punto distinto de O . Como el círculo tiene infinitos puntos, tiene un punto A que no estará en ninguna de las líneas OI . Entonces, para este punto A y todos los antiguos puntos O , el caso b será verdadero.

Este lema significa que, si hay k líneas que cruzan AO , entonces cada una de ellas cruza AO en un punto diferente y k  + 1 nuevas áreas son creadas por la línea AO .

El lema establece una propiedad importante para resolver el problema. Mediante una prueba inductiva , se puede llegar a una fórmula para f ( n ) en términos de f ( n − 1).

En la figura, las líneas oscuras conectan los puntos 1 a 4 y dividen el círculo en 8 regiones totales (es decir, f (4) = 8). Esta figura ilustra el paso inductivo de n = 4 a n = 5 con las líneas discontinuas. Cuando se agrega el quinto punto (es decir, cuando se calcula f (5) utilizando f (4)), esto da como resultado que se agreguen cuatro líneas nuevas (las líneas discontinuas en el diagrama), numeradas del 1 al 4, una por cada punto al que se conectan. Por lo tanto, el número de regiones nuevas introducidas por el quinto punto se puede determinar considerando el número de regiones agregadas por cada una de las 4 líneas. Establezca i para contar las líneas que se agregan. Cada línea nueva puede cruzar una cantidad de líneas existentes, dependiendo de a qué punto se encuentre (el valor de i ). Las líneas nuevas nunca se cruzarán entre sí, excepto en el nuevo punto.

La cantidad de líneas que cada nueva línea interseca se puede determinar considerando la cantidad de puntos a la "izquierda" de la línea y la cantidad de puntos a la "derecha" de la línea. Dado que todos los puntos existentes ya tienen líneas entre ellos, la cantidad de puntos a la izquierda multiplicada por la cantidad de puntos a la derecha es la cantidad de líneas que cruzarán la nueva línea. Para que la línea llegue al punto i , hay

n - yo - 1

puntos a la izquierda y

yo - 1

puntos a la derecha, por lo que un total de

( n - i - 1) ( i - 1)

Hay que cruzar las líneas.

En este ejemplo, las líneas hasta i = 1 e i = 4 cruzan cada una líneas cero, mientras que las líneas hasta i = 2 e i = 3 cruzan cada una dos líneas (hay dos puntos en un lado y uno en el otro).

Por lo tanto, la recurrencia se puede expresar como

${\displaystyle f(n)=f(n-1)+\sum _{i=1}^{n-1}{\big (}1+(ni-1)(i-1){\big )},}$

que puede reducirse fácilmente a

${\displaystyle f(n)=f(n-1)+\sum _{i=1}^{n-1}(2-n+ni-i^{2}).}$

Usando las sumas de los primeros números naturales y los primeros cuadrados, esto se combina para ${\estilo de visualización (n-1)}$${\estilo de visualización (n-1)}$

${\displaystyle f(n)=f(n-1)+{\frac {1}{6}}n^{3}-n^{2}+{\frac {17}{6}}n-2.}$

Finalmente,

${\displaystyle f(n)=\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{6}}k^{3}-k^{2}+{\frac {17}{6}}k-2\right)+1,}$con${\displaystyle f(0)=1,}$

que produce

${\displaystyle f(n)={\frac {n}{24}}(n^{3}-6n^{2}+23n-18)+1.}$

El lema afirma que el número de regiones es máximo si todas las intersecciones "internas" de las cuerdas son simples (exactamente dos cuerdas pasan por cada punto de intersección en el interior). Este será el caso si los puntos en el círculo se eligen " en posición general ". Bajo este supuesto de "intersección genérica", el número de regiones también se puede determinar de manera no inductiva, utilizando la fórmula para la característica de Euler de un grafo plano conexo (visto aquí como un grafo embebido en la 2- esfera S ² ).

Un grafo plano determina una descomposición en celdas del plano con F caras (celdas bidimensionales), E aristas (celdas unidimensionales) y V vértices (celdas 0dimensionales). Como el grafo es conexo, la relación de Euler para la esfera bidimensional S ²

${\displaystyle \,V-E+F=2}$

Se cumple. Observa el diagrama (el círculo junto con todas las cuerdas) de arriba como un gráfico plano. Si se pueden encontrar las fórmulas generales para V y E , también se puede derivar la fórmula para F , lo que resolverá el problema.

Sus vértices incluyen los n puntos del círculo, denominados vértices exteriores, así como los vértices interiores, las intersecciones de cuerdas distintas en el interior del círculo. La suposición de "intersección genérica" ​​hecha anteriormente garantiza que cada vértice interior sea la intersección de no más de dos cuerdas.

Por lo tanto, la tarea principal para determinar V es encontrar el número de vértices interiores. Como consecuencia del lema, dos cuerdas cualesquiera que se intersequen determinarán de forma única un vértice interior. Estas cuerdas están a su vez determinadas de forma única por los cuatro puntos finales correspondientes de las cuerdas, que son todos vértices exteriores. Cuatro vértices exteriores cualesquiera determinan un cuadrilátero cíclico , y todos los cuadriláteros cíclicos son cuadriláteros convexos , por lo que cada conjunto de cuatro vértices exteriores tiene exactamente un punto de intersección formado por sus diagonales (cuerdas). Además, por definición, todos los vértices interiores están formados por cuerdas que se intersecan.

Por lo tanto, cada vértice interior está determinado de forma única por una combinación de cuatro vértices exteriores, donde el número de vértices interiores viene dado por

${\displaystyle V_{\text{interior}}={n \elegir 4},}$

y entonces

${\displaystyle V=V_{\text{exterior}}+V_{\text{interior}}=n+{n \elige 4}.}$

Las aristas incluyen los n arcos circulares que conectan pares de vértices exteriores adyacentes, así como los segmentos de cuerdas (descritos a continuación) creados dentro del círculo por el conjunto de cuerdas. Dado que hay dos grupos de vértices: exteriores e interiores, los segmentos de cuerdas se pueden clasificar en tres grupos:

1. Aristas que unen directamente (no cortadas por otras cuerdas) dos vértices exteriores. Son cuerdas entre vértices exteriores adyacentes y forman el perímetro del polígono. Hay n aristas de este tipo.
2. Aristas que conectan dos vértices interiores.
3. Aristas que conectan un vértice interior y uno exterior.

Para hallar el número de aristas en los grupos 2 y 3, considere cada vértice interior, que está conectado exactamente a cuatro aristas. Esto da como resultado

${\displaystyle 4{n \elige 4}}$

Aristas. Dado que cada arista está definida por dos vértices finales, solo se enumeraron los vértices interiores; las aristas del grupo 2 se cuentan dos veces, mientras que las del grupo 3 se cuentan solo una vez.

Cada cuerda que es cortada por otra (es decir, cuerdas que no están en el grupo 1) debe contener dos aristas del grupo 3, sus segmentos cordales inicial y final. Como las cuerdas están determinadas únicamente por dos vértices exteriores, hay en total

${\displaystyle 2\left({n \elegir 2}-n\right)}$

aristas del grupo 3. Esto es el doble del número total de acordes que no son miembros del grupo 1.

La suma de estos resultados dividida por dos da el número combinado de aristas en los grupos 2 y 3. Al sumar las n aristas del grupo 1 y las n aristas del arco circular, el total es

${\displaystyle E={\frac {4{n \elija 4}+2\left({n \elija 2}-n\right)}{2}}+n+n=2{n \elija 4}+{n \elija 2}+n.}$

Sustituyendo V y E en la relación de Euler resuelta para F , se obtiene ${\displaystyle \,F=E-V+2,}$

${\displaystyle F={n \elija 4}+{n \elija 2}+2.}$

Como una de estas caras es el exterior del círculo, el número de regiones r _G dentro del círculo es F − 1, o

${\displaystyle r_{G}={n \elija 4}+{n \elija 2}+1,}$

que se resuelve a

${\displaystyle r_{G}={\frac {n!}{(n-4)!4!}}+{\frac {n!}{(n-2)!2!}}+1}$

que produce el mismo polinomio cuártico obtenido utilizando el método inductivo

${\displaystyle r_{G}={\frac {1}{24}}n(n^{3}-6n^{2}+23n-18)+1}$

La quinta columna del triángulo de Bernoulli ( k = 4) da el número máximo de regiones en el problema de dividir un círculo en áreas para n + 1 puntos, donde n ≥ 4.

Considerando el movimiento libre de fuerza de una partícula dentro de un círculo, se demostró (ver D. Jaud) que para ángulos de reflexión específicos a lo largo del límite del círculo, la secuencia de división del área asociada está dada por una serie aritmética.

• Secuencia del catering perezoso : donde n es el número de cortes rectos

• Conway, JH y Guy, RK "Cuántas regiones". En The Book of Numbers . Nueva York: Springer-Verlag, págs. 76-79, 1996.
• Weisstein, Eric W. "División de círculos por acordes". MathWorld .
• http://www.arbelos.co.uk/Papers/Chords-regions.pdf Archivado el 4 de septiembre de 2011 en Wayback Machine.
• Jaud, D. "Secuencias de números enteros a partir de divisiones de círculos mediante trayectorias de billar racionales". En "ICGG 2022 - Actas de la 20.ª Conferencia Internacional sobre Geometría y Gráficos", DOI: 10.1007/978-3-031-13588-0_8