Base de Chevalley

En matemáticas, una base de Chevalley para un álgebra de Lie compleja simple es una base construida por Claude Chevalley con la propiedad de que todas las constantes de estructura son números enteros. Chevalley utilizó estas bases para construir análogos de grupos de Lie sobre cuerpos finitos , llamados grupos de Chevalley . La base de Chevalley es la base de Cartan-Weyl , pero con una normalización diferente.

Los generadores de un grupo de Lie se dividen en los generadores H y E , indexados por raíces simples y sus negativos.${\displaystyle \pm \alpha _ {i}}$. La base de Cartan-Weyl se puede escribir como

${\displaystyle [H_{i},H_{j}]=0}$

${\displaystyle [H_{i},E_{\alpha }]=\alpha _{i}E_{\alpha }}$

Definir la raíz dual o co-raíz de${\displaystyle \alpha }$como

${\displaystyle \alpha ^{\vee }={\frac {2\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}$

dónde${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$es el producto interno euclidiano. Se puede realizar un cambio de base para definir

${\displaystyle H_{\alpha _{i}}=(\alpha _{i}^{\vee },H)}$

Los enteros de Cartan son

${\displaystyle A_{ij}=(\alpha _{i},\alpha _{j}^{\vee })}$

Las relaciones resultantes entre los generadores son las siguientes:

${\displaystyle [H_{\alpha _{i}},H_{\alpha _{j}}]=0}$

${\displaystyle [H_{\alpha _{i}},E_{\alpha _{j}}]=A_{ji}E_{\alpha _{j}}}$

${\displaystyle [E_{-\alpha _{i}},E_{\alpha _{i}}]=H_{\alpha _{i}}}$

${\displaystyle [E_{\beta },E_{\gamma }]=\pm (p+1)E_{\beta +\gamma }}$

donde en la última relación${\displaystyle p}$es el mayor entero positivo tal que${\displaystyle \gamma -p\beta }$es una raíz y consideramos${\displaystyle E_{\beta +\gamma }=0}$si${\displaystyle \beta +\gamma}$no es una raíz.

Para determinar el signo en la última relación se fija un orden de raíces que respete la suma, es decir, si${\displaystyle \beta \prec \gamma }$entonces${\displaystyle \beta +\alpha \prec \gamma +\alpha }$siempre que las cuatro sean raíces. Entonces llamamos${\displaystyle (\beta,\gamma)}$un par de raíces extra especiales si ambas son positivas y${\displaystyle \beta }$es mínimo entre todos${\displaystyle \beta _{0}}$que ocurren en pares de raíces positivas${\displaystyle (\beta _ {0}, \gamma _ {0})}$satisfactorio${\displaystyle \beta _ {0}+\gamma _ {0}=\beta +\gamma}$. El signo en la última relación puede elegirse arbitrariamente siempre que${\displaystyle (\beta,\gamma)}$es un par de raíces extra especial. Esto determina los signos de todos los pares de raíces restantes.

• Carter, Roger W. (1993). Grupos finitos de tipo Lie: Clases de conjugación y caracteres complejos . Wiley Classics Library. Chichester: Wiley. ISBN 978-0-471-94109-5.
• Chevalley, Claude (1955). "Sur ciertos grupos simples" . Revista Matemática Tohoku (en francés). 7 ( 1– 2): 14– 66. doi : 10.2748/tmj/1178245104 . SEÑOR 0073602 . Zbl 0066.01503 .  
• Tetas, Jacques (1966). "Sur les constantes de estructura y le théorème d'existence des algèbres de Lie semi-simples" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS (en francés). 31 : 21– 58. doi : 10.1007/BF02684801 . SEÑOR 0214638 . Zbl 0145.25804 .