Programación con restricciones de azar

La programación con restricciones probabilísticas ( CCP ) es un método de optimización matemática que se utiliza para abordar problemas en condiciones de incertidumbre. Fue introducida por primera vez por Charnes y Cooper en 1959 y desarrollada posteriormente por Miller y Wagner en 1965. ^{[ 1 ] [ 2 ]} La CCP se utiliza ampliamente en diversos campos, como las finanzas , la ingeniería y la investigación operativa , para optimizar procesos de toma de decisiones en los que se deben satisfacer ciertas restricciones con una probabilidad específica.

La programación con restricciones probabilísticas implica el uso de niveles de probabilidad y confianza para manejar la incertidumbre en problemas de optimización. Distingue entre restricciones probabilísticas simples y conjuntas:

• Restricciones de probabilidad única : Estas restricciones garantizan que cada restricción individual se cumpla con una determinada probabilidad.
• Restricciones de probabilidad conjunta : Estas restricciones aseguran que todas las restricciones se satisfagan simultáneamente con una cierta probabilidad. ^{[ 3 ]}

Un problema general de optimización con restricciones probabilísticas puede formularse de la siguiente manera:

${\displaystyle \min f(x,u,\xi ){\text{st }}g(x,u,\xi )=0,\Pr\{h(x,u,\xi )\geq 0\}\geq \alpha }$

Aquí,${\displaystyle f}$es la función objetivo ,${\displaystyle g}$representa las restricciones de igualdad,${\displaystyle h}$representa las restricciones de desigualdad,${\displaystyle x}$representa las variables de estado,${\displaystyle u}$representa las variables de control,${\displaystyle \xi }$representa los parámetros inciertos y${\displaystyle \alpha }$es el nivel de confianza.

Las funciones objetivo comunes en CCP implican minimizar el valor esperado de una función de costo, posiblemente combinado con minimizar la varianza de la función de costo. ^{[ 3 ]}

Para resolver problemas de CCP, el problema de optimización estocástica a menudo se relaja en un problema determinista equivalente. Existen diferentes enfoques dependiendo de la naturaleza del problema:

• CCP lineal : Para sistemas lineales, la región factible suele ser convexa y el problema se puede resolver utilizando técnicas de programación lineal .
• CCP no lineal : Para sistemas no lineales, el principal desafío reside en calcular las probabilidades y sus gradientes. Estos problemas suelen requerir solucionadores de programación no lineal .
• Sistemas dinámicos : Los sistemas dinámicos implican incertidumbres dependientes del tiempo, y el enfoque de solución debe tener en cuenta la propagación de la incertidumbre a lo largo del tiempo. ^{[ 3 ]}

La programación con restricciones probabilísticas se utiliza en ingeniería para la optimización de procesos bajo incertidumbre y la planificación de la producción, y en finanzas para la selección de carteras. ^{[ 3 ] Se} ha aplicado a la integración de energías renovables , ^{[ 4 ]} la generación de trayectorias de vuelo para UAVs [ ^{5 ]} y la exploración espacial robótica. ^{[ 6 ]}