Regla de la cadena (probabilidad)

En teoría de la probabilidad , la regla de la cadena ^{[ 1 ]} (también llamada regla general del producto ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} ) describe cómo calcular la probabilidad de la intersección de eventos, no necesariamente independientes , o la distribución conjunta de variables aleatorias , respectivamente, utilizando probabilidades condicionales . Esta regla permite expresar una probabilidad conjunta en términos únicamente de probabilidades condicionales. ^{[ 4 ]} La regla se utiliza notablemente en el contexto de procesos estocásticos discretos y en aplicaciones, por ejemplo, el estudio de redes bayesianas , que describen una distribución de probabilidad en términos de probabilidades condicionales.

Regla de la cadena para eventos

Dos eventos

Para dos eventos $A$ y $B$ La regla de la cadena establece que

\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)

,

dónde $\mathbb {P} (B\mid A)$ denota la probabilidad condicional de $B$ dado $A$ .

Ejemplo

Un frasco A contiene 1 bola negra y 2 bolas blancas, y otro frasco B contiene 1 bola negra y 3 bolas blancas. Supongamos que elegimos un frasco al azar y luego seleccionamos una bola de ese frasco. Sea el evento $A$ elegir la primera urna, es decir $\mathbb {P} (A)=\mathbb {P} ({\overline {A}})=1/2$ , dónde ${\overline {A}}$ es el evento complementario de $A$ . Dejemos que el evento $B$ sea la probabilidad de que elijamos una bola blanca. La probabilidad de elegir una bola blanca, dado que hemos elegido la primera urna, es $\mathbb {P} (B|A)=2/3.$ La intersección $A\cap B$ Luego describe cómo elegir la primera urna y una bola blanca de ella. La probabilidad se puede calcular mediante la regla de la cadena de la siguiente manera:

\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}.

Un número finito de eventos

Para eventos $A_{1},\ldots ,A_{n}$ cuya intersección no tiene probabilidad cero, la regla de la cadena establece

{\begin{aligned}\mathbb {P} \left(A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}\right)&=\mathbb {P} \left(A_{n}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-1}\right)\mathbb {P} \left(A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-1}\right)\\&=\mathbb {P} \left(A_{n}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-1}\right)\mathbb {P} \left(A_{n-1}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-2}\right)\mathbb {P} \left(A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-2}\right)\\&=\mathbb {P} \left(A_{n}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-1}\right)\mathbb {P} \left(A_{n-1}\mid A_{1}\cap \ldots \cap A_{n-2}\right)\cdot \ldots \cdot \mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\cdot \ldots \cdot \mathbb {P} (A_{n}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{n-1})\\&=\prod _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{k-1})\\&=\prod _{k=1}^{n}\mathbb {P} \left(A_{k}\,{\Bigg |}\,\bigcap _{j=1}^{k-1}A_{j}\right).\end{aligned}}

Ejemplo 1

Para $n=4$ , es decir, cuatro eventos, la regla de la cadena dice:

{\begin{aligned}\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{1}).\end{aligned}}

Ejemplo 2

Extraemos aleatoriamente 4 cartas (una a la vez) sin reemplazo de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de haber sacado 4 ases?

Primero, establecemos ${\textstyle A_{n}:=\left\{{\text{draw an ace in the }}n^{\text{th}}{\text{ try}}\right\}}$ Obviamente, obtenemos las siguientes probabilidades

\mathbb {P} (A_{1})={\frac {4}{52}},\qquad \mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})={\frac {3}{51}},\qquad \mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})={\frac {2}{50}},\qquad \mathbb {P} (A_{4}\mid A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})={\frac {1}{49}}

.

Aplicando la regla de la cadena,

\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})={\frac {4}{52}}\cdot {\frac {3}{51}}\cdot {\frac {2}{50}}\cdot {\frac {1}{49}}={\frac {24}{6497400}}

.

Enunciado del teorema y demostración

Dejar $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ Sea un espacio de probabilidad. Recordemos que la probabilidad condicional de un $A\in {\mathcal {A}}$ dado $B\in {\mathcal {A}}$ se define como

{\begin{aligned}\mathbb {P} (A\mid B):={\begin{cases}{\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}},&\mathbb {P} (B)>0,\\0&\mathbb {P} (B)=0.\end{cases}}\end{aligned}}

Entonces tenemos el siguiente teorema.

Regla de la cadena : Deje $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ Sea un espacio de probabilidad. $A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}$ . Entonces

{\begin{aligned}\mathbb {P} \left(A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}\right)&=\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\cdot \ldots \cdot \mathbb {P} (A_{n}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{n-1})\\&=\mathbb {P} (A_{1})\prod _{j=2}^{n}\mathbb {P} (A_{j}\mid A_{1}\cap \dots \cap A_{j-1}).\end{aligned}}

Prueba

La fórmula se deduce inmediatamente por recursión.

{\begin{aligned}(1)&&&\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})\\(2)&&&\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\\&&&&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}),\end{aligned}}

donde utilizamos la definición de probabilidad condicional en el primer paso.

Regla de la cadena para variables aleatorias discretas

Dos variables aleatorias

Para dos variables aleatorias discretas $X,Y$ , utilizamos los eventos $A:=\{X=x\}$ y $B:=\{Y=y\}$ en la definición anterior, y halla la distribución conjunta como

\mathbb {P} (X=x,Y=y)=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y)\mathbb {P} (Y=y),

o

\mathbb {P} _{(X,Y)}(x,y)=\mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)\mathbb {P} _{Y}(y),

dónde $\mathbb {P} _{X}(x):=\mathbb {P} (X=x)$ es la distribución de probabilidad de $X$ y $\mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)$ distribución de probabilidad condicional de $X$ dado $Y$ .

Un número finito de variables aleatorias

Dejar $X_{1},\ldots ,X_{n}$ sean variables aleatorias y $x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ . Por definición de probabilidad condicional,

\mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)=\mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)\mathbb {P} \left(X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)

y usando la regla de la cadena, donde establecemos $A_{k}:=\{X_{k}=x_{k}\}$ , podemos encontrar la distribución conjunta como

{\begin{aligned}\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1},\ldots X_{n}=x_{n}\right)&=\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1}\mid X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\mathbb {P} \left(X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\\&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})\cdot \ldots \\&\qquad \cdot \mathbb {P} (X_{n}=x_{n}\mid X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n-1}=x_{n-1})\\\end{aligned}}

Ejemplo

Para $n=3$ , es decir, considerando tres variables aleatorias. Entonces, la regla de la cadena dice:

{\begin{aligned}\mathbb {P} _{(X_{1},X_{2},X_{3})}(x_{1},x_{2},x_{3})&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},X_{3}=x_{3})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} _{X_{3}\mid X_{2},X_{1}}(x_{3}\mid x_{2},x_{1})\mathbb {P} _{X_{2}\mid X_{1}}(x_{2}\mid x_{1})\mathbb {P} _{X_{1}}(x_{1}).\end{aligned}}

Bibliografía

René L. Schilling (2021), Medida, integral, probabilidad y procesos: probablemente el mínimo teórico (1 ed.), Technische Universität Dresden, Alemania, ISBN 979-8-5991-0488-9{{citation}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
William Feller (1968), Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones , vol. I (3.ª ed.), Nueva York/Londres/Sídney: Wiley, ISBN 978-0-471-25708-0
Russell, Stuart J.; Norvig , Peter (2003), Inteligencia artificial: un enfoque moderno (2.ª ed.), Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall, ISBN 0-13-790395-2, pág. 496.

Referencias

^ Chelín, René L. (2021). Medida, integral, probabilidad y procesos: probablemente el mínimo teórico . Technische Universität Dresden, Alemania. pag. 136 y sigs. ISBN 979-8-5991-0488-9.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
↑ Schum, David A. (1994). Los fundamentos probatorios del razonamiento probabilístico . Northwestern University Press. pág. 49. ISBN 978-0-8101-1821-8.
↑ Klugh, Henry E. (2013). Estadística: Lo esencial para la investigación (3.ª ed.). Psychology Press. pág. 149. ISBN 978-1-134-92862-0.
↑ Virtue, Pat. "10-606: Fundamentos matemáticos para el aprendizaje automático" (PDF) .

[1] Chelín, René L. (2021). Medida, integral, probabilidad y procesos: probablemente el mínimo teórico . Technische Universität Dresden, Alemania. pag. 136 y sigs. ISBN 979-8-5991-0488-9.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )

[2] Schum, David A. (1994). Los fundamentos probatorios del razonamiento probabilístico . Northwestern University Press. pág. 49. ISBN 978-0-8101-1821-8.

[3] Klugh, Henry E. (2013). Estadística: Lo esencial para la investigación (3.ª ed.). Psychology Press. pág. 149. ISBN 978-1-134-92862-0.

[4] Virtue, Pat. "10-606: Fundamentos matemáticos para el aprendizaje automático" (PDF) .

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